La convergencia de $\sum_\lambda \frac{1}{1-\lambda x}$ donde $p(\lambda)=0$ durante un cierto polinomio $p$

Question

Las potencias de las raíces $\lambda$ de estos polinomios $$p_n(x):=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{n!}{(n-k)!}x^{k-1}$$ (compare with the $p_n$ aquí) la suma de estos valores $$\sum_\lambda \lambda^k=-(-1)^k\frac{B_k}{k!} \textrm{for } k=1..n-2$$ El $B_k$ $k$th números de Bernoulli $-\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, 0, -\frac{1}{30}...$ Desde $|\lambda|<1$ (fino a asumir), tenemos la serie geométrica $$\sum_{k=0}^\infty(\lambda x)^k=\frac{1}{1-\lambda x}$$ al menos para $|x|\leq1$ pero la mayoría de las $\lambda$ ir a cero como $n$ increasesso el radio de convergencia también puede aumentar.

Sumando sobre todos los $n-2$ raíces $\lambda$ tenemos para el primer $n-2$ términos del lado izquierdo. $$\sum_{k=1}^{n-2}(\lambda_1 x)^k+\sum_{k=1}^{n-2}(\lambda_2 x)^k+...=-\sum_{k=1}^{n-2}(-1)^kB_k\frac{x}{k!}^k$$ Que si comienzas a $k=0$ e ir a $\infty$ converge a $-x/(1-\exp(-x))$ ver aquí.

Pregunta: Es $$-x/(1-\exp(-x))=\lim_{n\rightarrow \infty} \left (\sum_{p_n(\lambda)=0}\frac{1}{1-\lambda x}-n+1 \right)$$ al menos para $|x|<1$? Aquí está una parcela para la $-x/(1-\exp(-x))$ (verde) y $\sum_\lambda \frac{1}{1-\lambda x}-n+1$ (azul) por $n=16$

y la octava código para generar

n = 16;

lambda = roots(factorial(n)./factorial(n - [n-1:-1:1]));

x = -10:1/10:20;

y = zeros(1,length(x));
for i = 1:length(x)
  y(i) = sum(1./(1-lambda*x(i)));
end

plot(x, y-n+1, 'b-', x, -x./(1-exp(-x)), 'g-')

axis([-10 +20 -20 +5])

Answer 1

El que desee limitar la fórmula tiene para todos los verdaderos $x$, e incluso para todos complejo de $x$ distinto de cero múltiplos enteros de $2\pi i$.

La clave es escribir $\sum_{p_n(\lambda)=0} 1/(1-\lambda x)$ en términos de un logarítmica de derivados.

Podemos suponer $x\neq 0$. Definir $$ q_n(x) = \frac{x^{n-1}}{n!} p(1/x) = \sum_{m=1}^{n-1} \frac{y^m}{m.} $$ (con $m=n-k$), por lo que $$ q_n(x) = x \prod_\lambda (1-\lambda x), $$ el producto que van más de la $n-2$ ceros de $p_n$ (con multiplicidad si es necesario). Por lo tanto $$ x- \frac{q'_n(x)}{q_n(x)} = -x \; \Bigl(\frac1x - \sum_\lambda \frac\lambda{1-\lambda x} \Bigr) = -1 + \sum_\lambda \frac{\lambda x}{1-\lambda x}. $$ Cada sumando $\frac{\lambda x}{1-\lambda x}$ puede ser escrito como $\frac1{1-\lambda x} - 1$, por lo que el lado derecho es $$ \sum_\lambda \frac1{1-\lambda x} - n + 1. $$ En el lado izquierdo, $q'_n(x)$ es una suma parcial de la energía de la serie de $e^x$, y $q_n(x)$ es una suma parcial de la energía de la serie de $e^x-1$. Estas series convergen para todos los $x \in {\bf C}$. Por lo tanto,$e^x - 1 \neq 0$, $$ x- \frac{q'_n(x)}{q_n(x)} \rightarrow x- \frac{e^x}{e^x-1} = \frac {x}{1-e^{-x}}, $$ y la prueba está completa.