Duda sobre el dominio de las funciones logarítmicas.

Question

Según mi libro, la función logarítmica $$\log_{a}x=y$$ is defined if both $x$ and $$ are positive and $x\neq 0$ and $a\neq 1$.

Así son estos no son correctos? $$\log_{-3}9=2$$ $$\log_{-2}-8=3$$

Answer 1

El fácil argumento es que las dos ecuaciones son incorrectas porque se viola la definición. El logaritmo de la función de los permisos de una base que es estrictamente positivo y no es igual a uno, y un dominio que es estrictamente positivo.

Otra forma de ver que los dos ejemplos que nos puede llevar a problemas es que perder dos importantes propiedades de los logaritmos. Es decir,

$$\log_a(xy) = \log_a(x)+\log_a(y) \qquad \text{and} \qquad \log_a\left(x^p\right) = p\log_a(x)$$ To put this into practice, let's start with the first equation you provided, $\log_{-3}(9)=2$. Supposing for the sake of contradiction that that equation is valid, we should also be able to apply the logarithm property $$\log_{-3}(9) = \log_{-3}(3^2) = 2\log_{-3}(3)$$ This means we should find that $\log_{-3}(3)=1$. Yet clearly it is not true that $(-3)^1 = 3$, so $\log_{-3}(3)=1$ is an invalid equation, meaning we have the following contradiction: $$2\log_{-3}(3) \neq 2 = \log_{-3}(9)= 2\log_{-3}(3)$$ At this point we can either choose to allow negative values of $un$ (which if we do will almost assuredly mean the logarithm will produce complex numbers), or choose to keep the logarithm property $\log_a\left(x^p\right) = p\log_a(x)$. But we cannot have both. You can derive a similar contradiction with your second equation as well. Ultimately it is much more beneficial to keep $$ positiva y no es igual a uno que es perder esas buenas propiedades de logaritmo. Lo mismo puede decirse para permitir que los argumentos negativos en el logaritmo. Esto es todo desde la perspectiva de que usted está trabajando con números reales, como las cosas deben ser tratados de manera diferente con los números complejos.

Answer 2

Son correctas en el sentido de que $(-3)^{2}=9$ $(-2)^{3}=-8$ . La dificultad surge porque quiere pensar de $\log_{a}(x)$ como la función inversa de la $a^{x}$. Si $a>0$ (e $a\neq 1$), a continuación, $a^{x}$ es de tipo continuo, con un valor real (en la medida de $x$ es real), función inyectiva (por lo $\log_{a}(x)$ tiene sentido). Si $a=1$ $a^{x}$ no es inyectiva y por lo que no tiene un inverso. Si $a<0$, entonces usted ya no tiene una función con valores reales (al $x$ es real). Por ejemplo, $(-3)^{1/2}$ donde $x=1/2$ no es un número real. En general, las restricciones que se dan asegurar que para entradas reales (dominio) de obtener salidas reales (rango) - y el objetivo es tener el dominio de ser tan grande como sea posible. También, como se ha señalado por @graydad, la costumbre logaritmo reglas fallar si $a<0$.

Por lo que la larga historia corta es: usted puede definir los logaritmos negativos de la base, pero usted realmente no quiere (porque nada funciona de la manera que usted desea/espera).

Answer 3

Por supuesto que no. ¿Cuál sería entonces la $\log _{-3} 7$?

Answer 4

En los números reales, el dominio de la función logaritmo ehich se define como:

$a^{x}=b$ implica, $x=\log_{a}(b)$.

Si estamos hablando de los números reales, el dominio de la función logaritmo es:

$x\in[-\infty,\infty]$

$b\in[1,\infty]$

$a\in[2,\infty$]

En el complejo los números de la única cosa que cambia es el dominio de $b$ se extiende a $b<0$ y a los números, $b$ s.t. $Im(b)\neq0$. La primera de ellas es la derecha, aunque el segundo:

$log_{2}(-8)=3$ No es, en realidad, es en el de los números complejos. Para el futuro,

$log_{2}(-8)=\frac{(log(8)+i\pi)}{log(2)}$

Espero que esto ayude,

Aleksandar