Definición de $H_\lambda$ (hereditaria cardinalidad)

Question

A mí me parece que la definición de $H_\lambda$ (el conjunto de los conjuntos hereditaria de la cardinalidad menos de $\lambda$) en la página web, en el Cantor del Ático no es del todo correcta. A partir de la página:

$H_\lambda=\{x: |\operatorname{trcl}(x)|<\lambda\}$ donde $\operatorname{trcl}(x)$ denota la clausura transitiva de $x$.

Esto es correcto cuando se $\lambda$ es regular el cardenal, pero si $\lambda$ es singular, a continuación, la definición debería incluir cualquier cofinal subconjunto de $\lambda$ con un tamaño de menos de $\lambda$, que esta definición no. De hecho, si $\lambda$ es un singular cardenal, $A \subset \lambda$ es cofinal, y $|A| < \lambda$, debido a $A$, sus elementos, sus elementos, y así sucesivamente, todos tienen cardinalidad menos de $\lambda$, entonces debemos decir que el $A$ ha hereditario de cardinalidad menor que $\lambda$ si queremos que la terminología tener ningún sentido.

Creo que la definición más cercana de $H_\lambda$ que sería lo correcto es

$H_\lambda=\{x: \forall y \in \operatorname{trcl}(\{x\})\, (|y| <\lambda)\}$.

Mi pregunta para las Matemáticas.Se es si estoy en lo correcto que hay un error, y si es así, cuál es la mejor definición sería (para que yo pueda arreglar la página). En mi experiencia, $H_\lambda$ solo se utiliza cuando se $\lambda$ es regular, por lo que la definición actual podría ser fijado por la restricción a este caso, que es lo que Jech hace en los ejercicios del Capítulo 12. Por otro lado, la segunda definición que se propone arriba, tiene la característica de que se generaliza mejor para el caso de "hereditariamente en $P$" donde $P$ es una clase distinta de $\{y : |y| < \lambda\}$, creo. Podría haber una tercera definición, que es incluso mejor. ¿Cuál es el estándar? ¿Qué es mejor?

Answer 1

Aunque la definición que Trevor citado de el Cantor del Ático falla, como él dice, para que coincida con el significado usual de "hereditariamente", es, hasta donde yo sé, es bastante estándar. Sospecho que la razón (o al menos una razón) por que se que funciona bien en la Lévy del cardenal acotamiento teorema: todo lo $\Delta_1$-definible a partir de conjuntos en $H_\lambda$ es en sí mismo en $H_\lambda$. Si cambia la definición de tal manera que una pequeña cofinal subconjunto $A$ de un singular $\lambda$ se convierte en un elemento de $H_\lambda$, luego de este teorema falla, debido a que $\lambda$ sí es $\Delta_1$-definible de $A$ como la unión de $A$.

Answer 2

Estás en lo correcto. Las razones por las que discutir, la definición adecuada de $H_\lambda$ singulares $\lambda$ es el conjunto de $x$ tal que $x$ y todos los conjuntos en su clausura transitiva tienen un tamaño por debajo de $\lambda$. (Aunque yo no podía encontrar al instante una referencia, esto es en realidad el estándar entre los que se considere el conjunto a todos, que no son demasiados, y su uso es bastante limitado. Por ejemplo, me imagino que uno puede desear para considerar la clase en contextos donde la elección de la falla, pero todavía tengo que ver a una aplicación en este contexto.)

Por otro lado, también es estándar (y más común) a sólo definen $H_\lambda$ $\lambda$ regular.

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En su mayoría como una curiosidad: Algunas personas (Forster, por ejemplo), presente en $H_\kappa$$\bigcap\{y\mid \mathcal P_\kappa(y)\subseteq y\}$. Esta presentación se generaliza: podemos definir la $$\mathcal P_\phi(x)=\{y\subseteq x\mid \phi(y)\},$$ so $\mathcal P_\kappa(x)$ is $\mathcal P_{|y|<\kappa}(x)$. One can then define $H_\phi$ as $\bigcap\{y\mid\mathcal P_\phi(y)\subseteq y\}$. Esta notación parece volver a

Maurice Boffa. Sur l'ensemble des conjuntos héréditairement de puissance inférieure à la onu cardenal infini donné, Bull. Soc. De matemáticas. Belg., 22, (1970), 115 a 118. MR0309732 (46 #8837).

Nota: esta versión coincide con la estándar para $\kappa$ regular, pero es la problemática de $\kappa$ singular.