¿El $\gcd(2n-1,2n+1)=1?$

Question

Estoy publicando esto para preguntar si mi prueba es correcta ya que no he tomado a la teoría de números en un año y me siento un poco oxidado. Si no es correcto, por favor, dime donde me salió mal, así que se puede arreglar.

Quiero demostrar que el $\gcd(2n-1,2n+1)=1$ todos los $n$.

Utilizando el Algoritmo de Euclides, tenemos que $$ 2n+1=(2n-1)\cdot(1)+2 $$ $$ 2n-1=2(n-1)+1 $$ $$ 2=1\cdot(2)+0 $$ Por lo tanto, $\gcd(2n-1,2n+1)=1$ todos los $n$.

Answer 1

De otra manera: si $d$ divide tanto a a $2n-1$ $2n+1$ a continuación, divide su diferencia, que es $2$. Pero $2n-1$ $2n+1$ son raros y por lo $d$ no puede ser $2$ y debe ser $1$.

Answer 2

También podemos probar como esta :

supongamos $gcd(2n-1,2n+1)=a$, luego tenemos $$a|2n-1; a|2n+1$$. So there exists $t_1, t_2$ such that $2n-1=at_1$ and $2n+1=at_2$, so from this two equations we get $$at_1+1=at_2-1 \iff a(t_2-t_1)=2$$. Por eso, $a=1 or 2$ si $a=2$ contradice con $a|2n+1$.

Por eso, $a=1$