Sé que $\sin\theta=\frac{y}{r}$ y $\cos\theta=\frac{x}{r}$.
Mi pregunta es: es $\sin$ en función de $\theta$, $\sin (\theta$)?
Si sí, ¿por qué no hay $\theta$ en el lado derecho de la ecuación? Por ejemplo, $f(x) = mx + c$. Aquí $f$ es una función de $x$.
Si no, ¿cuál es la relación entre los símbolos $\sin$ y $\theta$?
Otra pregunta es: ¿por qué escribimos $\theta = \sin ^{-1} (\frac{y}{r})$ y qué es lo que realmente significa?
Creo que la razón histórica por la confusión se deriva de la graficación de funciones trigonométricas en forma polar versus forma rectangular. En forma rectangular, la siguiente declaración es verdadera. $$ \theta \quad =\quad x $$ (Donde el significado de esta igualdad es que nos vamos a la medida de los ángulos en el círculo unitario, representativo de los rectangular distancia a lo largo del eje x, o el dominio, de los rectangular función.) Pero en forma polar, esto no es cierto, y $\theta$ significa algo distinto, es decir, se utiliza para definir el ángulo de referencia de cero radianes, no en la distancia a lo largo de la $x$-eje. Por lo tanto, el significado de $\theta$ o $x$, depende de la manera en que usted se gráfica en el plano bidimensional, es decir, polares o rectangulares de trazado. En la polar método, el significado de la rectangular par de coordenadas $$(x,y)$$ es que es un análogo de la ubicación a la par de coordenadas definido por el dirigido distancia desde el origen de una cierta medida de $\theta$, con el eje de abscisas, o $x$-valor de la rectangular par de coordenadas, que se define por $$x=r\cdot \cos(\theta )$$ y el de ordenadas, o $y$de valor de los rectangular par de coordenadas, definido por el $$ $ y=r\cdot \sin(\theta )$$
En polar método, por lo tanto, representan el par de coordenadas, o punto en el plano, utilizando un significado diferente de $\theta$, es decir, como un valor de entrada para el ángulo desde el origen, en términos de $r$ define como una función de $\theta$, y por lo tanto se refieren comúnmente a cada par de coordenadas en el plano con: $$(r,\theta )$$
Si, por el contrario, tenemos la intención de graficar en el plano bidimensional en forma rectangular, luego nos vamos a: $$ \theta \quad =\quad x $$ (Donde $\theta$ ahora se entiende que es la rectangular, la distancia a lo largo de la $x$-eje, o el dominio de la rectangular función.) Por lo tanto, en lugar de representar la medida del ángulo desde el cero radianes el ángulo theta ahora representa la distancia a lo largo de la $x$-eje desde el origen. Además, en el caso de los padres de la función derivada a partir de la unidad de circe, desde: $$r=1$$ podemos construir la siguiente función en una máquina de una sola variable, por rectangular gráfica: $$ r\cdot \sin(\theta )=y $$ Y esto es intuitivo porque el de ordenadas, o y variable, vientos de hasta convenientemente aislado. Y ya que estamos muy acostumbrados a y como una función de x, tiene perfecto sentido para escribir esto como: $$[r\cdot \sin(\theta )=y=f(x)=\sin(x)]\quad \Longleftrightarrow \quad \theta =x\quad \cap \quad r=1$$ Pero donde se pone menos intuitivamente obvio es cuando vamos a construir la función de la máquina para la rectangular gráfica para el coseno, que cuando multiplicamos ambos lados en su ejemplo, por r: $$r\cdot \cos(\theta )=x$$ Y esto es extraño, porque aunque rectangulares y polares gráficos hacen referencia a la misma en dos planos dimensionales, esta declaración es el uso de x en dos formas diferentes. En primer lugar, vamos a considerar el equivalente lógicamente declaración: $$ [r\cdot \cos(\theta )=x=f(x)=\cos(x)]\quad \Longleftrightarrow \quad \theta =x\quad \cap \quad r=1 $ $ $ $ El problema es que en la polar / rectangular fórmula de conversión, estamos definiendo $x$ como el eje de abscisas el valor de la representación polar de coordenadas, pero ahora que estamos cambiando a rectangular de forma gráfica, estamos usando $$ x como la variable de entrada para representar theta. En definitiva, estamos usando $x$ en dos formas diferentes. (Del mismo modo, también estamos usando $y$ en dos formas diferentes.) Básicamente, estamos sustituyendo el polar uso de $x$, con la rectangular de coordenadas, o $y$, y estamos sustituyendo la polar uso de theta en la instrucción anterior con la rectangular de uso de $x$ como una variable independiente. Esta ambigüedad puede ser eliminado si reemplazamos nuestra manera común de la escritura de las proporciones en forma polar, con variables ficticias. Esta es la razón por la que algunos profesores prefieren usar contrario, adyacente, etc., en lugar de $x$ y $y$ porque se utiliza de diferentes maneras cuando construimos la función de las máquinas. Para quitar la refundición, simplemente utilizar su phi para la polar en el eje de abscisas fórmula, produciendo: $$ [r\cdot \cos(\theta )=\varphi =f(x)= \cos(x)]\quad \Longleftrightarrow \quad \theta =x\quad \cap \quad r=1 $$ Y, por lo tanto, razones trigonométricas se han transformado en funciones de $x$. Vamos a ser claros, que $x$ ¿que queremos decir!? Bueno, en este caso, nos referimos a $$ x como la variable independiente y no a la abscisa de salida de la representación polar del dirigió a distancia. El mismo puede ser deducido matemáticamente para el resto de funciones. De nuevo, podría ser útil para sustituir el original de las proporciones con las variables ficticias que se define como el eje de abscisas y de ordenadas a fin de no confundir el uso de $x$ en el primer caso, que es utilizado como el eje de abscisas, con $x$ en la función de la máquina, que, para el coseno, tiene dos usos diferentes, como se describe anteriormente. Por el uso de variables ficticias, la aparente múltiples usos y significados de $x$ es eliminado. Este responde a sus tres primeras preguntas. La comprensión de esta correctamente, también arroja luz sobre el hecho de que incluso en la construcción de seno, y el resto de funciones, se siguen cometiendo los mismos matemáticos presunción de conmutación entre los usos de las variables $x$ y $y$ en la polar método que difieren de los usos de las variables $x$ y $y$ en la rectangular método. Para ser claro, estos son los usos, y todavía estamos en un gráfico en el plano de coordenadas bidimensionales en ambos casos.
Su siguiente pregunta es ¿cuál es la relación del seno y $x$, y coseno y $x$, etc. Hay una razón por la que las funciones trigonométricas son llamados trascendentales. La relación es trascendental. Eso significa que uno no puede usar la aritmética básica, es decir, la suma, la resta, la multiplicación o la división, para resolver, por ejemplo: $$ \cos(30) $$ Ahora, en la antigüedad, este fue cuidadosamente medido por iteraciones alrededor del círculo unitario. Como resultado, las tablas fueron desarrollados, en particular en el caso de la astronomía de Ptolomeo. Más tarde, cuando el Cálculo se ha desarrollado, serie infinita se utiliza para aproximar estos trascendentales con más precisión, y estos son referidos colectivamente como Series de Taylor, que son la Serie de MacLaurin que no están centradas en 0. La relación es, por tanto, simbólico, y es que el seno de un ángulo" es medido por una coordenada en la unidad de triángulo de un determinado theta, o el ángulo. Asimismo, el coseno de un ángulo" es medido por el eje de abscisas de la unidad triángulo de un determinado theta, o el ángulo. Y así sucesivamente para los demás ...
Luego, además, preguntar cuál es la función inversa significa y por qué se puede escribir. En primer lugar, en respuesta a por qué se puede escribir, cabe señalar que cada función trigonométrica de la máquina requiere de un dominio y el rango de restricción con el fin de ser una función en el primer lugar. Esta es la razón por la que algunos campos de pensamiento prefieren escribir "arco" antes de la función en lugar de usar el negativo de un superíndice que, para algunos, implica que hay una perfecta función inversa sin restricción. Ahora, si usted está pidiendo más ampliamente por qué uno puede construir funciones inversas, me iba a someterse a un teórico, o sugerir simplemente que a veces uno sabe la relación, pero necesita el ángulo, y a veces uno sabe el ángulo, sino que necesita de la relación. Cuenta principios de análisis de movimiento planetario, globo de aire caliente, el cálculo de la distancia de la cuerda de la cometa, la determinación de la distancia de la trayectoria usando paramétrica de funciones trigonométricas, y así sucesivamente, por supuesto, todas limitado a dos dimensiones en la actualidad.
Entonces, la respuesta a tu pregunta sobre el significado de la función inversa, es simplemente la lógica inversa, o arcoseno "de una relación (con $r=1$)" es medido por un determinado theta en la unidad triángulo de las específicas de coordinación, o el valor de y. Asimismo, arcocoseno "de una relación (con $r=1$)" es medido por un determinado theta en la unidad de triángulo de un determinado eje de abscisas, o $x$de valor. Es simplemente la conversión lógica de la función y el significado de la anterior función trigonométrica máquinas (incluyendo los dominios restringidos y rangos). Además, ambos son trascendentales y requieren iteraciones o de medición, lo que resulta en tablas, o que requieren de aproximaciones de los valores trascendentales a través del uso de lo que se llama Serie de Taylor, que son la Serie de MacLaurin que no están centradas en 0. Esta última parte responde lo que la inversa de la función de los medios.
No es un $\theta$ en el lado derecho. La definición de $\sin(\theta)$ no es sólo $s/r$; en su lugar es algo así como:
$s/r$, después de dibujar un triángulo rectángulo con $\theta$ como un ángulo, y donde $y$ es la longitud del lado opuesto al $\theta$ y $r$ es la longitud de la hipotenusa.
Como se puede ver, que la definición completa no en el hecho de contener un $\theta$, no menos de $mx+c$ contiene un valor de $x$.
Supongo que depende de cómo se defina $\sin\theta$. Una posible definición es de $f(\theta)\equiv \theta \frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}...$ Esta serie converge para todo $\theta$ y se llama $\sin\theta$. Para obtener más información, busque la serie de Maclaurin.
Más en general creo que están confundidos acerca de qué función se. La definición técnica es difícil de entender (al menos para mí), pero lo que pones en puede ser diferente a lo que salga. Considere la posibilidad de una máquina a la que se asigna un número a las letras del alfabeto. $A\a 1$ aquí el dominio de la función son las letras, mientras que el rango de números.
La inversa de la función $\sin^{-1}$ esencialmente asignar el límite de la serie convergente (o ratio) para un ángulo. El papel de dominio y el rango invertido. Nota a pesar de que es necesario restringir el valor de $\theta$ como varios valores convergen al mismo límite.
Espero que esto ayude.
Mirando tu perfil, publicar una gran cantidad de StackOverflow, así que tal vez una programación analogía será de ayuda.
Dicen que quieren hacer una Point de la clase. Hay un montón de maneras que usted podría hacerlo. Usted podría tener los miembros de variables p.x y p.y, por el valor de $x$ y $y$ coordenadas (duh). Esa es la forma más común. Pero, en teoría, también se puede escribir en términos de p.rad y p.theta. ¿Por qué no? O si usted se siente realmente perverso, se puede usar algún tipo de trastorno bipolar del sistema de coordenadas. Hay un montón de opciones, y usted no quiere tener que volver a escribir el código si usted cambia su mente.
Así que, como los programadores solemos hacerlo, introducir una capa de abstracción. Todos los Point objetos, sin embargo están implementado, tiene los siguientes métodos: p.get_x(), p.get_y(), p.get_rad()y p.get_theta(). Así que ahora usted puede de manera segura olvidarse de los detalles de la implementación*. Un Point no tienen necesariamente un x o y más, no más de lo que tiene un rad o theta.
Ahora vamos a volver a las matemáticas-de la tierra. En lugar de p.get_x(), tenemos un total de $x(p)$, y su fórmula se convierte en:
$$ \sin \left( \theta(p) \right) = \frac{y(p)}{r(p)} $$
Pero ya que estamos perezoso, y el $p$s por todas partes un poco el desorden de las cosas, dejamos caer el $p$ de la notación. Así que cuando usted vea las instrucciones de este tipo, recuerda que hay un implícito "para cualquier punto $p$" en ellos. Esperemos que esto tiene más sentido ahora.
$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ EDIT: supongo que no aborda realmente lo que "sine" realmente significa. Es sólo una función de $\RR$ $\RR$ que tiene ciertas propiedades. Nada especial acerca de la aplicación $\theta$.
*Aparte de problemas de rendimiento, por supuesto. :)
Sí $\sin$ es sólo una función son los reales (o complejos) números. La gente suele escribir $\sin(\theta)$ o $\sin\theta$ porque el argumento de la $\sin función$ es a menudo un ángulo en las aplicaciones físicas, y $\theta$ se utiliza a menudo para denotar los ángulos.
Para su seguimiento: $\sin^{-1}$ es la función inversa de la $\sin función$. Similar a la forma $\log$ es la función inversa de la función exponencial. Tenga en cuenta que dado que $\sin dólares no es bijective, $\sin^{-1}$ es más bien 'arbitrariamente' elegido inversa parcial.
El $\theta$ símbolo no aparece en el lado derecho porque es generalmente incluido en un diagrama como este. Así que usted tiene que determinar desde el contexto de lo que el $\theta$ se refiere.
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