$$\iint_D \frac{(x+y) e^{y-x}}{x^2 y^2}dx \, dy$$
$$D= \{(x,y) ; 0\leq y+1\leq x , xy\geq 1 \}$$
Iv sido atrapados en esta para los últimos dos horas , necesito alguna sugerencia .
Mis límites son : $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\leq X<\infty $
$\frac 1 x \leq Y\leq x-1$ son los límites correctos ?
Necesito algunos consejos, Gracias de antemano
Creo que esta integral converge. Deje $a= (1+\sqrt 5)/2.$ tenga en cuenta que $(x+y)/(x^2y^2) = 1/(xy^2) + 1/(x^2y).$ echemos un vistazo a la integral que involucra el primero de estos términos. Que es igual a
$$\tag 1 \int_a^\infty \frac{e^{-x}}{x} \int_{1/x}^{x-1}\frac{e^y}{y^2}\,dy \, dx.$$
El interior de la integral está acotada arriba por
$$\tag 2 \int_{1/x}^{1}\frac{e^y}{y^2}\,dy + \int_{1}^{x}\frac{e^y}{y^2}\,dy.$$
La primera integral en $(2)$ está delimitado por encima de $e(x-1).$ Si insertamos que en el exterior integral en $(1),$ tenemos una integral convergente. Para la segunda integral en $(2)$ tenga en cuenta que por L'Hôpital,
$$\frac{\int_1^x (e^y/y^2)\, dy}{e^x/x^2} \to 1$$
como $x\to \infty.$, por Lo que esta integral es $\le 2e^x/x^2$ grandes $x.$ la Inserción de ese término en el exterior integral en $(1)$ también da una integral convergente.
Que se ocupa de la parte original de la integral que involucra $1/(xy^2).$ La parte que involucra $1/(x^2y)$ puede ser manejada de la misma manera.
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