El problema es como este:
Considerar el conjunto abierto $\Omega \in \Bbb{R}^2$ $\Omega=\{(x,y) : 0<x<1, 0<y<x^2 \}$
Es $\Omega$ con Lipschitz límite? (es decir, el límite a nivel local es la gráfica de una función de Lipschitz)
Demostrar que la función de $v(x,y)=x^{1-\beta}$ $\beta <3/2$ satisface $v \in H^1(\Omega)$.
Considere la posibilidad de abrir cualquier balón $B$ contiene $\Omega$. Demostrar que no hay ninguna función en $H^1(B)$ que se extiende $v$.
He resuelto las dos primeras partes, pero el objetivo real es la tercera: para demostrar que si el límite de $\Omega$ no es Lipschitz, a continuación, algunas de las funciones de $H^1(\Omega)$, no puede extenderse a funciones en $H^1(B)$ donde $B$ es una bola que contiene $\Omega$.
Primera parte he resuelto usando el hecho de que un conjunto abierto tiene límite de Lipschitz si y sólo si tiene la $\varepsilon$-cono de la propiedad (es decir, por cada $x \in \partial \Omega$ existe un vector unitario $\xi \in \Bbb{R}^2$ tal que para todos los $y \in \overline{\Omega}\cap B(x,\varepsilon)$ tenemos que $C(y,\xi,\varepsilon) \subset \Omega$ donde$C(y,\xi,\varepsilon)=\{z \in \Bbb{R}^2,\ \langle z-y ,\xi \rangle \geq \cos(\varepsilon)|z-y|$$0<|z-y|<\varepsilon\}$ ) Si se escoge $(0,0)$ que está en la frontera, entonces no es $\varepsilon$-cono con vértice en a$(0,0)$$\Omega$.
Yo estaría interesado en cómo podría yo demostrar directamente que $\Omega$ no tiene límite de Lipschitz, utilizando sólo la definición?
Para la segunda parte, $v \in L^2$ es casi liso, y sus derivados también están en $L^2$.
No puedo encontrar la idea para resolver tercera parte. Yo estaba pensando en extender $v$ $0$ fuera de $\Omega$. ¿Por qué esta mal?
