Demostrar que $3 \le a+b+c \le 2\sqrt{3}$ en un triángulo

Question

Sea $a,b,$ y $c$ son las longitudes de los lados de un triángulo que cumple $ab+bc+ca = 3.$ Demostrar que $3 \le a+b+c \le 2\sqrt{3}$ .

La idea que tenía era $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = a^2+b^2+c^2+6 \geq 9$ por reordenación. Eso resuelve la primera desigualdad. ¿Cómo muestro la otra desigualdad?

Answer 1

Tenemos que utilizar la palabra "triángulo" en algún momento. $$ a^2+b^2+c^2 \le a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2(ab+ac+bc)=6$$ de ahí $$(a+b+c)^2\le 12$$

Answer 2

Mientras trabajo en un enfoque no variacional, presento un enfoque variacional.

Por la condición dada, $ab+bc+ca=3$ obtenemos $$ (b+c)\,\delta a+(c+a)\,\delta b+(a+b)\,\delta c=0\tag{1} $$ Para los puntos críticos interiores que maximizan $a+b+c$ queremos $$ \delta a+\delta b+\delta c=0\tag{2} $$ Para obtener $(2)$ para todas las variaciones que satisfagan $(1)$ obtenemos $b+c=c+a=a+b$ lo que significa $a=b=c=1$ . Es decir $$ a+b+c=3\tag{3} $$ Los puntos críticos del borde llegarán cuando $a=b+c$ o $b=c+a$ o $c=a+b$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos $a=b+c$ . $(1)$ se convierte en $$ (2b+3c)\,\delta b+(3b+2c)\,\delta c=0\tag{4} $$ y $(2)$ se convierte en $$ 2\delta b+2\delta c=0\tag{5} $$ Para obtener $(5)$ para todas las variaciones que satisfagan $(4)$ obtenemos $2b+3c=3b+2c$ lo que significa $b=c=\sqrt{\frac35}$ . Es decir $$ a+b+c=4\sqrt{\frac35}\tag{6} $$ Los puntos críticos de las esquinas proceden de $a=0$ o $b=0$ o $c=0$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos $c=0$ lo que significa $a=b=\sqrt3$ . Es decir $$ a+b+c=2\sqrt3\tag{7} $$ Combinación de $(3)$ , $(6)$ y $(7)$ da $$ 3\le a+b+c\le2\sqrt3\tag{8} $$

Answer 3

¿Por qué $a^2+b^2+c^2\geq 3$ ? Creo que es necesario aplicar en alguna parte que se trata de un triángulo. ¿Tal vez algo como esto?

Si sumas las siguientes desigualdades,

$$ab+bc=b(a+c)> b^2$$ $$ab+ac=a(b+c)> a^2$$ $$ac+bc=c(a+b)> c^2$$

se obtiene $a^2+b^2+c^2\leq 6$ que por su argumento le da $(a+b+c)^2<12.$ Esto implica $a+b+c\leq 2< 3.$ Sin embargo, el lado izquierdo de la desigualdad se deduce de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para triples $(a,b,c)$ y $(b,c,a)$ y $$ab+bc+ca\leq \sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{b^2+c^2+a^2}=a^2+b^2+c^2.$$ Esto implica finalmente $a^2+b^2+c^2\geq 3$ como suponía antes.

Answer 4

Por otro lado, observamos que \begin{align*} (a+b+c)^2 &\ge 3 (ab + bc + ca)\\ &= 9. \end{align*}