Creo que el título lo dice todo. Estoy planeando dar una charla en unas semanas sobre la paradoja de Banach-Tarski y tengo algunos pdfs encontrados en internet que describen un poco la paradoja pero estoy buscando una referencia sólida que cubra la construcción de la A a la Z y de la que pueda extraer las ideas principales para mi charla (entiendo las ideas que hay debajo de la paradoja, sólo busco una demostración formal sin excluir detalles, es decir, un documento bien estructurado). ¿Alguien tiene una referencia en mente?
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Hice una presentación similar en el MathFest 2011 en Kentucky la semana pasada, usando el libro de Stan Wagon como guía. Aquí hay una lista de definiciones/teoremas/etc que están en el hilo directo para llegar a la Paradoja de Banach-Tarski (declarada como corolario en el libro).
- Def 1.1: G-Paradoxical
- Thm 1.2: Grupo libre de rango 2 F-paradojal
- Proposición 1.10: Grupo que actúa sin puntos fijos no triviales
- Tema 2.1: $SO_3$ tiene un subgrupo libre de rango 2
- Tema 2.3: Paradoja de Hausdorff
- Def 3.3: G-Equidecomposable
- Prop. 3.4: La equidecomposibilidad preserva las Paradojas
- Tema 3.9: $S^2$ y $S^2$ menos un conjunto contable son equidecomponibles
- Cor 3.10: La paradoja de Banach-Tarski
Como han dicho otros, en este libro hay MUCHOS resultados interesantes a lo largo del camino, y el desarrollo es magnífico. Aquí hay un enlace a una versión modificada de la presentación Di en el MathFest. Es un intento de ilustrar exactamente lo que se presenta en el material del texto, en lugar de proporcionar una interpretación alternativa (pasos de bebé, ¿verdad?). Para la versión web, he añadido algunas anotaciones para que se adapte mejor a la lectura, ya que la presentación original de diapositivas no tenía mucho desarrollo textual, aunque desgraciadamente no he podido añadir descripciones detalladas de las animaciones sin una reelaboración significativa.
Oli
Puntos
89
La paradoja de Banach-Tarski Un gran libro de Stan Wagon, bastante detallado. La mayoría de las bibliotecas universitarias lo tendrían. El libro también aborda un montón de material auxiliar interesante, ¡muy útil para una conferencia!
Comentario : El resultado no se extiende a $\mathbb{R}^2$ . A grandes rasgos, esto se debe a que existe una "medida" invariante de traslación (finitamente aditiva) sobre todos los subconjuntos de $\mathbb{R}^2$ que extiende la medida de Lebesgue.
La siguiente es una vieja pregunta de Tarski: Dado un disco y un cuadrado de igual área, ¿puede el disco descomponerse en un número finito de regiones, que pueden volver a ensamblarse para formar el cuadrado? Acerca de $20$ hace años, Laczkovich demostró, para sorpresa de todos, que la respuesta es sí .
Attila Lendvai
Puntos
1084
En mi opinión, las imágenes que muestran la versión constructiva del BTP en el espacio hiperbólico son las mejores para motivar lo que sucede. Claro, hay algunos detalles que son diferentes en $R^3$ en comparación con $H^2$ pero en realidad son sólo detalles. La teoría de grupos subyacente -- la forma en que un grupo libre conduce a una paradoja -- es tan clara en el plano hiperbólico, modelo de disco. Por supuesto, esto se discute en mi libro BTP, pero esta demo/película (que cualquiera puede ver con el software gratuito) muestra la historia muy bien.
Stan Wagon
