Cuatro identidades trigonométricas

Question

Cómo puedo demostrar las siguientes identidades? $$\sin(nx)=\sum_{k=1}^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}(-1)^{k-1}\binom{n}{2k-1}\sin^{2k-1}x\cos^{n-2k+1}x,$$ $$\cos(nx)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}(-1)^{k}\binom{n}{2k}\sin^{2k}x\cos^{n-2k}x,$$ $$\tan(nx)=\frac{\sum_{k=1}^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}(-1)^{k-1}\binom{n}{2k-1}\tan^{2k-1}x}{\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}(-1)^{k}\binom{n}{2k}\tan^{2k}x},$$ $$\cot(nx)=\frac{\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}(-1)^{k}\binom{n}{2k}\cot^{n-2k}x}{\sum_{k=1}^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}(-1)^{k-1}\binom{n}{2k-1}\cot^{n-2k+1}x}.$$

Answer 1

Eche un vistazo a http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials. Una vez que usted consiga la primera de dos identidades, podrás llegar fácilmente los dos últimos. Como pbs sugerido, puede utilizar el Teorema del Binomio. La razón es :

$$\cos(n\theta) + i\sin(n\theta) = e^{in\theta} = (e^{i\theta})^{n} = (\cos(\theta)+i\sin(\theta))^{n}$$

La idea es expandir $(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^{n}$ a identificar su real y la parte imaginaria. En resumen, se tiene :

\begin{eqnarray*} (\cos(\theta)+i\sin(\theta))^{n} & = & \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} i^{k} \sin^{k}(\theta) \cos^{n-k}(\theta) \\ & = & \sum_{p=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} (-1)^{p} \begin{pmatrix} n \\ 2p \end{pmatrix} \sin^{2}(\theta)\cos^{n-2}(\theta) - i\sum_{p=0}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor} (-1)^{p} \begin{pmatrix} n \\ 2p-1 \end{pmatrix} \sin^{2p-1}(\theta)\cos^{n-2p+1}(\theta) \end{eqnarray*}

Así, se obtiene la espera de identidades :

$$\cos(n\theta) = \sum_{p=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} (-1)^{p} \begin{pmatrix} n \\ 2p \end{pmatrix} \sin^{2p}(\theta)\cos^{n-2p}(\theta)$$

y

$$ \sin(n\theta) = \sum_{p=0}^{\lceil \frac{n}{2} \rceil} (-1)^{p+1} \begin{pmatrix} n \\ 2p-1 \end{pmatrix} \sin^{2p-1}(\theta)\cos^{n-2p+1}(\theta)$$

Answer 2

Los dos primeros, por inducción y el uso de las fórmulas para el seno y coseno de la suma, respectivamente.

Los dos últimos son sólo los cocientes de los dos primeros, donde un $\cos^nx$ fue factorizada.