¿Se deduce que $Y$ es equivalente en homotopía a $S^{n-1}$ ?

Question

Dejemos que $M$ sea una zona compacta y conectada $n$ -(sin límite), donde $n \ge 2$ . Supongamos que $M$ es equivalente en homotopía a $\Sigma Y$ para algún espacio de base conectada $Y$ . ¿Se deduce que $Y$ es equivalente en homotopía a $S^{n-1}$ ?

Answer 1

Voy a demostrar la afirmación que tengo en mi comentario. Que cualquier complejo CW con la homología de $S^n$ suspende a un espacio homotópico equivalente a $S^{n+1}$ para $n\geq 1$ . Si $X$ es un complejo CW, por Mayer-Vietoris, $SX$ tiene la homología de $S^{n+1}$ . Como $X$ es $(0)$ -conectado, $\pi_1(SX)=0$ por el teorema de la suspensión de Freudenthal.

Aplicando Hurewicz repetidamente, tenemos $0=H_k(SX)\cong\pi_k(SX)$ para $1\leq k\leq n+1$ y $H_{n+1}(SX)=\pi_{n+1}(SX)=\Bbb Z$ y el mapa de Hurewicz $$H:\pi_{n+1}(SX)\to H_{n+1}(SX)$$ es un isomorfismo. En particular, existe $\alpha :S^{n+1}\to SX$ con $\alpha_*([S^{n+1}])$ generando $H_{n+1}(SX)$ .

Ahora $\alpha$ es un mapa entre espacios simplemente conectados que induce un isomorfismo en la homología , por lo que es una equivalencia de homotopía débil (cf. Spanier 7.6.25) y por tanto una equivalencia de homotopía si $X$ es un complejo CW.

En particular, si $M$ es $S^4$ y $Y$ es una 3esfera de homología no trivial (por ejemplo, el espacio dodecaédrico de Poincaré), entonces $S(Y)$ es equivalente en homotopía a $S^4$ .