Refutación de la convergencia uniforme

Question

Dada una secuencia de funciones $f_n$ que se sabe que es convergente puntualmente, ¿cómo se podría demostrar que es no ¿convergente uniforme?

El ejemplo particular con el que estoy trabajando es $f_n (x)=\frac {nx} {x^2+n^2}$ y he intentado utilizar el Teorema 7.9 de Rudin (convergencia uniforme $\iff M_n=(\sup |f_n(x)-f(x)|) \rightarrow 0$ como $n\rightarrow \infty$ ) pero usando eso encontré $M_n$ para ser $\frac {\sqrt n} {1+n}$ maximizando $f_n$ pero esto da un resultado erróneo.

editar: $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R $ , lo siento por eso

Answer 1

Parece que has calculado mal $M_n$ .

En general, dejemos $g$ sea una función continua en $0$ y definir $g_n(x)= g(x/n)$ .

Entonces $g_n(x) \rightarrow g(0)$ como $n\rightarrow\infty$ para todos $x$ .

Pero $M_n=\sup_x |g_n(x)-g(0)| = \sup_x |g(x)-g(0)|=M_1$ para todos $n$ Así que $M_n\rightarrow 0$ si y sólo si $M_1=0$ - es decir, $g$ es constante. Así que $g_n$ no converge uniformemente a $g(0)$ a menos que $g$ es constante.

En su caso, $f_n(x) = \frac {x/n}{1+(x/n)^2}$

Answer 2

Existe un criterio, en algunos libros es un ejercicio:

Dejemos que $(f_n)$ una secuencia de funciones de valor real sobre $D$ . Si existe $(x_n)$ y $(y_n)$ secuencias en $D$ , de tal manera que $$|x_n-y_n|\to 0$$ pero $$|f_n(x_n)-f_n(y_n)|\not \to 0$$ entonces, la secuencia $(f_n)$ no convergen uniformemente en $D$ .

En su caso particular, tome $$x_n=n\quad \text{ and }\quad y_n=n+\frac{1}{n}.$$

Answer 3

El límite uniforme de las funciones continuas es también continuo.

Así que si $\{f_n\}$ son continuos y $f_n\to f$ en punto a $I$ pero $f$ no es continua en $I$ entonces $f_n$ no puede converger uniformemente a $f$ .

Por supuesto, esto sólo es útil en el caso de que $f$ no es continua...