Classifing grupos de orden 56: problemas con el semidirect producto

Question

Mientras yo estaba haciendo un ejercicio sobre la clasificación de los grupos de orden 56, he tenido algunos problemas relativos a la semidirect producto.

Deje $G$ un grupo de orden 56 y supongamos que el 7-Sylow es normal (vamos a llamar a $H$). A continuación, queremos construir el no abelian grupo cuyo 2-Sylow $S$$S \cong \mathbb Z_8$.

Primero de todo, tenemos que determinar el homomorphism $\phi \colon \mathbb Z_8 \to \text{Aut}(\mathbb Z_7)$. Se sabe que $\text{Aut}(\mathbb Z_7) \cong \mathbb Z_6$ y el isomorfismo es dada por $$ \begin{split} & \mathbb Z_6 \to \text{Aut}(\mathbb Z_7) \\ & a \mapsto \psi_a \colon \mathbb Z_7 \ni n \mapsto an \in \mathbb Z_7 \end{split} $$

Así que podemos empezar por encontrar la homomorphism $\mathbb Z_8 \to \mathbb Z_6$. Hay es exactamente $(6,8)=2$ tal homomorphism. ¿Quiénes son? Simplemente el que envía todo a $0$, y la multiplicación por $3$ (que es el único elemento en el $\mathbb Z_6$ cuyo orden - 2 - divide 8). En términos multiplicativos, que son los homomorphism que envía todo a $1$ y el homomorphism que envía a $n \mapsto 6^n=(-1)^n$.

Así que, por la composición, tenemos a los dos homomorphism $$ \begin{split} \phi_1 \colon & \mathbb Z_8 \to \text{Aut}(\mathbb Z_7)\\ & n \mapsto \text{id} \end{split} $$ y $$ \begin{split} \phi_2 \colon & \mathbb Z_8 \to \text{Aut}(\mathbb Z_7)\\ & n \mapsto \psi_n \colon \mathbb Z_7 \ni x \mapsto 6^nx = (-1)^nx \in \mathbb Z_7 \end{split} $$

Estoy en lo cierto?

Ahora, si tomamos $\phi_1$ simplemente obtenemos el directo del producto. Lo que si tomamos $\phi_2$?

En aras de la simplicidad, supongamos aditivo notación (esto es una estupidez, lo sé, pero eso me ha ayudado de alguna manera a entender). Si no estoy equivocado, obtenemos que $H \rtimes_{\phi_2} \mathbb Z_8$ es el conjunto $H \times \mathbb Z_8$ con la operación dada por $$ (a,b) + (c,d) = (a+(-1)^bc,b+d) $$

Ahora si me do $(0,k)+(h,0)-(0,k) = ((-1)^k h, 0) = \phi_k(h)$ que es exactamente lo que quiero.

Ahora debo pasar a la mucho más confortable la notación multiplicativa: así que vamos a $C_7=\langle s \rangle$ $C_8=\langle r \rangle$ ser los grupos cíclicos de orden 7 y 8. A continuación, definimos los automorfismos $$ \begin{split} \phi_n \colon & C_7 \to C_7 \\ & x \mapsto x^{(-1)^n} \end{split} $$ y el homomorphism $$ \begin{split} \psi \colon & C_8 \to \text{Aut}(C_7) \\ & n \mapsto \phi_n \end{split} $$

En otras palabras, podemos decir simplemente que $\psi$ es el homomorphism que envía el generador de $r$ a la inversión $x^{-1}$. Estoy en lo cierto hasta el momento?

Bien, ahora $C_7 \rtimes_{\psi} C_8$ es el conjunto $C_7 \times C_8$ con la operación dada por $$ (a,b), (c,d) = (ac^{(-1)^b},bd) $$

Tengo que hacer de nuevo el cálculo de $(1,k)(h,1)(1,k)^{-1}=(h^{(-1)^k},1) = \phi_k(h)$ que es exactamente lo que quiero (también de acuerdo a ineff la respuesta).

¿Hay algún error? Le puedo hacer una pregunta más? Quién es este misterioso grupo que he construido? Es isomorfo a algunos otros (más sencillo) grupo? ¿Cómo puedo hacer para escribir una presentación?

Le doy las gracias de antemano por su amable ayuda.

Answer 1

Supongo que la confusión se debe a la doble representación de la semidirect producto: interna vs externa.

El semidirect producto del teorema establece que si usted tiene un grupo de $G$ tener dos subgrupos $H,K < G$ tal que $H$ es normal en $G$, $H \cap K = \{1_G\}$ y $G=HK$ luego hay un isomorfismo $G \cong H \rtimes_\psi K$, para un determinado $\psi \colon K \to \text{Aut}(H)$.

Por el teorema podemos representar cada elemento de a $G$ como un par $(h,k) \in H \times K$ (que es el apoyo del grupo $H \rtimes K$).

Considere los dos subgrupos $\bar H = \{(h,1_K) | h \in H\} \leq H \rtimes K$$\bar K = \{(1_H,k)|k \in K\} \leq H \rtimes K$, estos subgrupos que corresponden, a través del isomorfismo, a los subgrupos $H$$K$$G$.

En $H \rtimes K$ tenemos que por cada $h \in H$ $k \in K$ $$(1_H,k) * (h,1_K) *(1_H,k)^{-1} = (\psi_k(h),1_K)$$ si identificamos cada $h \in H$ con su correspondiente elemento $(h,1_K)$ y cada una de las $k \in K$$(1_H,k)$, entonces la igualdad se convierte internamente en $G$) $$k*h*k^{-1}=\psi_k(h)$$

El $\psi$ que determinan la operación en el semidirect producto es exactamente el homomorphism el envío de todos los $k \in K$ en la restricción (a$H$) de los automorphism $\psi_k \colon H \to H$ que envían $h \in H$ $khk^{-1}$ (esto es claramente bien definida debido a $H$ es normal en $G$.

Espero que esta ayuda.