Sea $$ f(n)=\begin{cases}-1&\text{if $n$ is a prime integer},\\ 1&\text{otherwise}. \end{cases} $$ Entonces, ¿la serie $$ \sum_{n>1} f(n)/n $$ ¿convergen o divergen?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sea $f(n)=-1$ si $n$ es primo, y $f(n)=1$ de lo contrario. Demostramos que la suma $$\sum_{n=6}^\infty \frac{f(n)}{n}$$ no converge.
Ordena los números enteros $\ge 6$ en grupos consecutivos de $6$ . En el conjunto $\{6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5\}$ los números $6k+1$ y $6k+5$ puede ser primo. Los otros cuatro son definitivamente compuestos. De ello se deduce que $$\sum_{i=0}^5 \frac{f(6k+i)}{6k+i} \ge \frac{1}{6k}-\frac{1}{6k+1}+\frac{1}{6k+2}+\frac{1}{6k+3}+\frac{1}{6k+4}-\frac{1}{6k+5}.$$
La suma de la derecha es $\gt \frac{1}{6k+2}+\frac{1}{6k+3}$ que a su vez es $\gt \frac{2}{6k+3}$ .
Pero $\sum_{k=1}^\infty \frac{2}{6k+3}$ diverge. Así que la secuencia de sumas parciales de la forma $\sum_{n=6}^{6k+5} \frac{f(n)}{n}$ no tiene límite y, por tanto, la serie de la pregunta no converge.
El argumento demuestra algo más: la serie diverge de hecho a $\infty$ .
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André Nicolas ya ha demostrado que la serie diverge. La divergencia también puede cuantificarse con relativa facilidad. $$ S(n) = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1 - 2 \times 1_{\text{$ k $ is a prime}}}k = \sum_{k=1}^{n} \dfrac1n - 2 \sum_{k- \text{ prime }\leq n} \dfrac1k \\ = \left(H_n - \log n \right) - 2 \left(\sum_{k- \text{ prime }\leq n} \dfrac1k - \log (\log n) \right) + \log (n) - 2 \log \log (n)$$ A partir de la asintótica de $H_n$ y $\sum_{k- \text{ prime }\leq n} \dfrac1k$ tenemos que $$S(n) = \gamma - 2B + \log \left( \dfrac{n}{\log^2 (n)} \right) + \mathcal{O} \left( \dfrac1{\log n}\right)$$
