Soy un estudiante de posgrado que acaba de hacer un curso de introducción a algunas nociones de teoría algebraica de números y geometría algebraica (oficialmente, era un curso de introducción al programa de Langlands). En casi todas las clases, el profesor hablaba de algún análogo geométrico de algún objeto teórico de campo / objeto algebraico. ¿Puede alguien proporcionar una descripción general de la relación entre el programa clásico de Langlands y el programa geométrico de Langlands? Si la diferencia es muy técnica y está fuera del alcance de un novato, ¿podría indicarme algún recurso? Gracias.
Respuesta
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La idea básica del programa Langlands, de forma muy aproximada e imprecisa, es asociar $n$ -representaciones de Galois (objetos algebraicos) a "representaciones automórficas" de GL( $n$ ) (objetos más analíticos - estos son de dimensión infinita para $n > 1$ ). (Hay otros aspectos del programa de Langlands, pero éste es en mi opinión el más fundamental). Ambos tipos de representaciones se definen sobre un campo global, que es clásicamente un campo numérico, pero que podría ser también un campo de funciones.
(También hay análogos sobre campos locales, al igual que hay muchas analogías entre campos locales y globales en la teoría clásica de los números, por ejemplo, la teoría de campos de clases locales y globales. De hecho, la $n=1$ caso de la correspondencia de Langlands puede verse como un replanteamiento de la teoría del campo de clases).
La versión de campo de funciones de la correspondencia de Langlands puede interpretarse más directamente en términos de geometría, por ejemplo, curvas sobre campos finitos. Según tengo entendido (no soy un experto), la correspondencia geométrica de Langlands es un intento de entender cuál debería ser el análogo geométrico si se trabaja con curvas sobre los números complejos, en lugar de un campo finito.
Los detalles son bastante técnicos. Hay una diccionario en nLab que puede ser de interés superficial, aunque requiere un bagaje importante para entenderlo realmente. Si quieres dedicar algo de tiempo a aprender sobre estas cosas, un par de referencias, respectivamente para los Langlands clásicos y geométricos, son "Una introducción elemental al programa Langlands" de Gelbart y la "Introducción informal a la geometría de Langlands" de Gaitsgory en el Introducción al programa Langlands volumen (editado por Berstein y Gelbart).
