¿Por qué es útil para clasificar el vector de paquetes de un mismo espacio?

Question

A mí me parece que el vector paquetes son útiles porque nos permiten llevar para soportar todo el álgebra lineal sabemos para ayudar en el estudio de los espacios topológicos. Ahora, he leído en alguna parte que es un importante y difícil problema de clasificar todos los del vector paquetes de un espacio. Estoy dispuesto a aceptar que el problema es difícil, pero ¿por qué es importante? ¿Cuáles son algunas de las aplicaciones de esta clasificación?

Answer 1

Esta es una variación de Ryan respuesta.
En PL topología, de la que todos geométrica de la topología se levantó de cada objeto X viene equipado con una incrustación en Rⁿ , para n suficientemente grande. Con el aumento de álgebra homológica, y el cambio de enfoque hacia la suave y topológicas de las categorías, se convirtió en útil para separar entre el complejo de cadena de X a través de algunas de anillo (que podría utilizar para calcular la homología), que le dice algo como X cómo se pegan de simplexes, y entre la información acerca de cómo X podrían ser localmente incrustado, que es el paquete de la teoría sobre X. Estas dos piezas de información acerca de X son distintos (aunque ahora estoy leyendo sobre cuadrática de las estructuras de los complejos de la cadena, un formalismo que combina en algún sentido). En particular, la teoría algebraica de los complejos de la cadena es un largo camino a partir de la topología geométrica de colectores, incluso en la presencia de la dualidad de Poincaré de la estructura.
Todo esto es parte del esfuerzo de la vista de un espacio "intrínsecamente". Vector de paquetes son una abstracción de la pieza tubular de vecindad de X en el que algunos de los grandes el espacio Euclidiano, en el sentido de que los complejos de la cadena son una abstracción de apilamiento simplexes para construir X. De esta manera, se convierten en la herramienta natural para el estudio de "intrínseca externo" de la estructura en ámbitos como el de la cirugía de problemas, el paso entre las categorías (liso, PL, y topológicas), el diferencial topología sobre X, y así sucesivamente.

Answer 2

Si tu espacio es un colector, sabiendo que el vector haces más que espacio cantidades a conocer todos sus tubular barrios al incrustar el espacio en otro colector. Con frecuencia, esto le permite encontrar muchas relaciones entre los dos colectores.

Uno de los clásicos de la aplicación sería la prueba de que todo liso incrustaciones $S^n \S^{n+2}$ (co-dimensión dos incrustación de una esfera en una esfera) tiene un Seifert superficie, lo que significa que no es un integrado, orientable $n+1$-colector $M \S^{n+2}$ cuyo límite es el $$n-esfera. Uno de los pasos principales es mostrar que el $$n-esfera $S^{n+2}$ tiene un trivial tubular de vecindad.

Answer 3

Yo diría que la importancia de la clasificación de los vectores haces que ocurra primero a partir del hecho de que conduce naturalmente a la "característica de las clases" y su descripción completa. Característica de las clases son computables y potente invariantes de vector de paquetes. Mira el libro de Milnor-Stasheff "Característico " clases", que es el maravilloso clásico en el dominio. Hay que encontrar la primera de las aplicaciones de la clasificación de vector de paquetes, los fundamentales de clasificación teorema ser que isomorfismo clases de rango n vector paquete de E-->X sobre un espacio X se encuentran en correspondencia 1-1 con homotopy clases de mapas g:X-->BO(n), donde BO(n) es una explícita espacio topológico, es decir, es el grasmannian de n-espacios vectoriales dentro de R^inifinity. El uso de este teorema es que, mediante el cohomology de BO(n), usted puede construir y clasificar muy interesante y computable invariantes de vector de paquetes (la más famosa es la de Euler de la clase, el Stiefel-Whitney clases, la Pontrjagin las clases y para el vector complejo haces) las clases de Chern.) Este es whar se llaman característica clases de vector de paquetes.

Entre las aplicaciones de este dado en Milnor-Stasheff son los siguientes:
- usted puede probar que el verdadero espacios proyectivos Pⁿ(R) (que es un n-dimensional del colector) no incrusta en R^n+k para valores bajos de k (dependiendo n). Por ejemplo, el 8 dimensiones proyectivas de espacio no se incruste en R¹⁴.
-usted puede probar que es imposible definir un bilineal multiplicación en Rⁿ sin divisor de cero (es decir, tales que x.y≠0 si x≠0 e y≠0) a menos que n es una potencia de 2 (pero cuando n=2 se tiene el complejo de la multiplicación, cuando n es 4 tiene quartenions, para n=8 tiene octonions). Este último fue mejorado por Adams, que mostró que n=1,2,4,8 son actyually los únicos valores posibles.
- puede clasificar compacto liso colectores "hasta cobordism" (Thom teorema). Este fue un primer paso para la clasificación de suave colectores hasta diffeomorphism (cirugía de la teoría). La clasificación hasta cobordism está muy directamente relacionada con la cohomology de BO(n).
- otro sorprendente aplicación que no es completamente detallado en la Milnor-Stasheff es la construcción de esferas exóticas, es decir, suave colectores homeomórficos pero no diffeomorphic a una esfera (por ejemplo en la dimensión 7). Un ingrediente clave en la prueba de ello es Hirzebruch firma fórmula que implica que algunos vector de paquetes no puede ser la tangente paquete de un compacto liso colector.
-la ampliación de esta también se puede construir ejemplos de topológico colectores de que no puede tener una estructura suave
- y esto fue sólo el comienzo en la década de 1950 :-). Luego vino la K-teoría, la clasificación completa de la exótica spoheres, la clasificación de suave manioflds, etcétera...

Answer 4

Topológica de la K-teoría es muy útil: por ejemplo, jugó un papel clave en la comprensión del índice teorema.

Answer 5

Aunque no es específico para el vector de paquetes como tal, la clasificación de cualquier tipo de estructura por lo general se da algún tipo de entendimiento más profundo de la estructura, y lo que es más importante, tiende a producir buenas y a menudo compacto de los descriptores.

Por ejemplo, la clasificación de los módulos a través de (bastante bueno) álgebras nos da todo tipo de interesantes invariantes y descomposiciones: la clasificación de los módulos a través de los PIDs nos da la forma normal de Jordan, con todo el poder que trae al álgebra lineal; y la clasificación de los módulos a través de la aljaba de álgebras (tame módulos de existir más de un par de familias de los diagramas de Dynkin; todos los demás admitir salvaje módulos), es lo que constituye la base para la persistencia diagramas de una formalización (y visualización) de la idea de que las clases en la homología de un filtrado simplicial complejo de llevar vidas que terminan nos dice mucho acerca de la topología de las cosas que se utilizan para construir el complejo simplicial en el primer lugar.

Estas ideas, de nuevo, se están aplicando en el análisis de datos, en el grupo cohomology y en gráficos por ordenador.

Todo lo cual quiere decir que la clasificación en general es buena, y el vector de paquetes son interesantes, clasificando así vector haces es bueno.