No sabemos si hay más números primos, incluso con los dígitos iniciales o impar de dígitos iniciales?

Question

Me preguntaba, por curiosidad, ¿sabemos si hay más números primos, incluso con los dígitos iniciales o impar de dígitos iniciales? Por ejemplo, los números primos, incluso con los dígitos iniciales serían $23$ o $29$ y primos con impar de dígitos iniciales serían $31$ o $97$. Si no hemos descubierto entonces ¿cómo podemos hacer algo como eso?

Gracias

Answer 1

Uno podría esperar que las Benford la ley se aplica aquí (como Calvin Lin comentarios señaló también), aunque me parece muy difícil (si es posible) para demostrarlo. Suponiendo que, primos, comenzando con una dígitos impares sería tener un familiar de la población de 60.9%

Actualización: he aquí un papel relevante

Answer 2

El Primer Número Teorema puede ser utilizado para encontrar el supremum y infimum de las densidades relativas. En particular, para los primos de partida con impar de dígitos que el límite superior es 7/9 = 0.777... (si número de muestra a partir de 1999,...) y el límite inferior es 41/81 = 0.506... (si usted muestra los números de partida 8999...).

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El supremum de un conjunto es por lo menos su límite superior. Para un conjunto finito, un supremum es su máxima. Para conjuntos infinitos, sin embargo, el supremum puede ser ("poco") más grande que todos los miembros del conjunto. Por ejemplo, el conjunto $\{x:x<3\}$ ha supremum 3 a pesar de que todos los miembros son de menos de 3. Se puede ver que no hay un máximo para este conjunto, ya que si se escoge algunos $y$ en el conjunto es menor que el de $(3+y)/2$, que es menor que 3, y así también en el conjunto.

Del mismo modo, el infimum es la mayor cota inferior del conjunto, la generalización de la mínima.

Lo que te gustaría en una situación como esta podría ser la densidad relativa de los números primos de partida con impar de dígitos en el conjunto de los números primos. Esto sería $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\text{# de números primos}\le x\text {, comenzando con una dígitos impares}}{\text{# de números primos}\le x} $$

Pero, ¿qué sucede si este límite no existe? Por ejemplo, podría ir hasta el 70%, y luego hacia abajo a 55%, y luego de vuelta hasta el 70%, y repetir ad infinitum. De hecho, esto es precisamente lo que sucede!

Así que en lugar de buscar el límite, que no existe (al igual que el máximo de $\{x:x<3\}$ no existe), buscamos el límite de supremum y límite de infimum. Estos siempre existen, y son iguales exactamente cuando el límite existe (en cuyo caso son iguales al límite).

Pero, ¿qué es un límite supremum (lim sup)? En este caso, es $$ \lim_{y\to\infty}\sup_{x\ge y}\frac{\text{# de números primos}\le x\text {, comenzando con una dígitos impares}}{\text{# de números primos}\le x} $$ o en otras palabras, el valor más grande que la función se hace arbitrariamente cerca infinitamente a menudo. (Si ocurrió sólo finitely a menudo, entonces sucede por última vez en algunos $y_0$, y el límite va más allá de la $y_0$$\infty.$)

Por supuesto, el límite inferior (lim inf) se define de manera similar con la $\inf$ en lugar de $\sup.$

Tanto para los preliminares. Ahora es el momento de mirar el Teorema de los números Primos. Se dice que hay $(1+o(1))(x/\log x)$ números primos por debajo de $x.$ El significado de $o(1)$ es técnico, pero básicamente es sólo un número que se convierte arbitrariamente pequeño como $x$ aumenta. Ahora, para algunas constantes $0<\alpha<1$ el número de números primos entre $\alpha x$ $x$ $(1+o(1))(x/\log x) - (1+o(1))(\alpha x/\log(\alpha x))=(1+o(1))(1-\alpha)x/\log x.$ (Las $o(1)$ son en realidad números diferentes, por lo que no cancelar la manera que esperas. La notación es gracioso, pero es la forma en que se escriben normalmente.)

Así que, básicamente, hay sólo el número de números primos que usted esperaría entre el $\alpha x$ $x$ desde el logaritmo de la densidad crece lentamente.

Ahora podemos utilizar para obtener las densidades necesitamos. En primer lugar, echemos un vistazo a la densidad relativa de los impares, a partir de los números primos entre $10^{n-1}$ $10^n.$ 5/9 comenzar con una dígitos impares y 4/9 comienzan con un dígito, ya que por el uso de la Primer Número Teorema de las densidades son lo que cabría esperar. Ahora usted puede hacer lo mismo con los números primos entre $10^{n-2}$$10^{n-1}$, etc., así que para los números primos por debajo de $10^n$ 5/9 comenzando con una dígitos impares.

Pero no queremos limitarnos a mirar sólo en potencias de 10. Lo que si nos fijamos en los números por debajo de $2\cdot10^n$? A continuación, la mitad estaría por debajo de $10^n$ 5/9 comenzaría con una dígitos impares, y la mitad entre el $10^n$ $2\cdot10^n$ todos inicio con impar de dígitos. Por lo tanto (5/9+1)/2 = 7/9 empezar con impar de dígitos. No es difícil ver que esto es lo mejor que puedes hacer.

Del mismo modo, en el otro lado, si miramos $9\cdot10^n$ tiene nueve grupos: los de abajo $10^n$ han 5/9 impar primeros dígitos, el $n-$cifras a partir de 1, 3, 5, o 7 son todos impares inicial, y el $n-$cifras a partir de las 2, 4, 6, 8 son todas iniciales. En general que la (5/9+4)/9 = 41/81. Y ya está!