Ejercicio 1.11 de Eisenbud

Question

Estoy haciendo los ejercicios de Eisenbud del Álgebra Conmutativa, con miras a la Geometría Algebraica, y no entiendo la parte de uno de ellos, ex. 1.11 a):

Ejercicio 1.11: $\mathbb{C}$, considere la posibilidad de un círculo y una parábola representada por $\mathbb{C}[x,y]/(x^2+y^2-1) \cap (y-2-x^2)$ [...]. Mostrar que la "proyección desde el polo norte" da un bijection (dada por funciones racionales) entre el círculo de menos de un punto y de la línea de menos de dos puntos.

La única línea que aparecen en el ejercicio es la línea de $x=0$, pero ya que no podemos proyectar el círculo desde el polo norte en la línea, vamos a suponer que la línea es $y=0$. Sabemos que la proyección estereográfica da un bijection entre el círculo de menos de un punto y la línea entera, así que esto no es la proyección que se está buscando.

Tomar un vistazo más de las Sugerencias y soluciones, tenemos que la proyección es, precisamente,$t \mapsto (4t/(t^2+4), (t^2-4)/(t^2+4))$, que cumple que es un bijection entre el círculo menos $(0,1)$$\mathbb{C} \setminus \{2i, -2i\}$.

Mis preguntas son las siguientes: ¿de dónde viene este mapa? ¿Por qué es una proyección estereográfica?

Gracias.

Answer 1

Deje $Z=\{(z,w)\in\mathbb C^2\colon z^2+w^2=1\}\setminus\{(0,1)\}$. La idea es que se tome la proyección estereográfica en $\mathbb R^2$ y simplemente permitir que el parámetro a ser complejo. Recordar--o calcular--la proyección estereográfica en $\mathbb R^2$ puede considerarse como un bijection de la línea de $y=-1$ a $Z\cap \mathbb R^2$, dado por $$f:(t,-1)\mapsto\left(\frac{4t}{t^2+4},\frac{t^2-4}{t^2+4}\right).$$ If we allow $t$ to vary in $\mathbb C\setminus\{\pm 2i\}$ the hope is that it is a bijection onto $Z$.

Para construir una relación inversa, utilice la otra dirección de la proyección estereográfica mapa en $\mathbb R^2$, de los cuales uno puede calcular como está dada por $$g:(z,w)\mapsto 2z/(1-w),$$ and extend to the rest of $Z$.

Los mapas de $f:\mathbb C\setminus\{\pm 2i\}\to \mathbb C^2$ $g:Z\to\mathbb C$ son inversas, de donde nunca tiene sentido decir que. Sólo tenemos que mostrar que la imagen de $f$ está en el dominio de $g$ y viceversa. Es fácil demostrar directamente que $f$ mapas en $Z$. También, si $z/(1-w)=i$ donde$(z,w)\in Z$,$z^2=-(1-w)^2$, lo $2w=2$, una contradicción. Del mismo modo, $-2i\not\in g(Z)$. Por lo tanto, $g=f^{-1}$ como se desee.