matemáticas fue recreado sobre la base de un número de conceptos en lugar de geométrica queridos

Question

En Richard Courant y Fritz Juan del libro Introducción al Cálculo y Análisis Volumen I, dice

En los tiempos modernos las matemáticas se recrea y ampliado considerablemente en un fundación de número de conceptos en lugar de geométrica.

Por qué esa recreación que pasó ? Para deshacerse de las limitaciones de los métodos geométricos ?

Answer 1

Pruebas utilizando geométrica de la intuición y de la de Euclides los axiomas eran casi la norma en la antigua grecia las matemáticas. Sin embargo, al lado de la idea de los números también estaba desarrollando por obvias necesidades prácticas (es decir, contar y medir). Con el advenimiento de álgebra se hizo evidente que los métodos basados en la manipulación algebraica de los números eran mucho más poderosas que las de no-obvio geométricas argumentos basados en axiomas de Euclides y este fue el principal motivo para el cambio de enfoque de la geometría con la aritmética/álgebra.

Uso del álgebra se hizo tan frecuente que se puso de moda el estudio de la geometría mediante el uso de números (coordinar la geometría). Sin embargo, como muchos matemáticos durante 1800-1900 di cuenta de que la idea de la sustitución de los conceptos geométricos con los números, no fue fácil. El concepto de una línea recta como un suave continuo de puntos era muy difícil mapa con la actual teoría de los números (que era básicamente una teoría de los números accesible a través de técnicas algebraicas es decir, los números considerados fueron algebraicas). Sólo con el desarrollo de una adecuada teoría de los números reales por Cantor, Dedekind, de Weierstrass fue posible mapa de los puntos de una recta con los números reales y el conjunto de los números reales, entonces podría ser visto como una especie de aritmética continuo.

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Todo este desarrollo por el camino había un efecto secundario. El encanto de los Elementos de Euclid no es más disponibles en el estándar de currículo de la escuela secundaria. Sólo el mínimo material a base de Euclides los axiomas está cubierto en el plan de estudios de la escuela y a los estudiantes a aprender geometría analítica y herramientas de cálculo para tratar con el general de las curvas. La bella teoría de las cónicas por Apolonio de Perga es un notable trabajo basado en axiomas de Euclides y, por desgracia, muy pocos estudiantes son conscientes de ello. Yo hice el estudio de algunos de la misma en el libro de Apolonio, Tratado sobre las Secciones Cónicas por T. L. Heath y escribió algunos artículos en los cónicos.