Caminos más cortos entre puntos de la frontera de un conjunto convexo

Question

¿Esta afirmación es cierta y, si es así, tiene un nombre?

Dado un conjunto convexo cerrado acotado, $C\subset \mathbb R^n$ , dejemos que $C^{int}$ sea el interior de $C$ y $C^{bd}=C-C^{int}$ sea el límite de $C$ . Dados dos puntos $x,y\in C^{bd}$ cualquier camino "más corto" más corto" entre $x,y$ en $\mathbb R^n-C^{int}$ está completamente dentro de $C^{bd}$ .

Answer 1

No conozco ningún nombre para esta propiedad. Sin embargo, se puede demostrar con bastante rapidez. No me ocuparé de la existencia de la geodésica (algún argumento de compacidad puede funcionar, pero no me resulta obvio cuál), y sólo demostraré que cualquier geodésica en $X := \mathbb{R}^n-C^{int}$ entre puntos de $C^{bd}$ debe estar en $C^{bd}$ .

Dejemos que $x$ , $y$ estar en $C^{bd}$ . Supongamos que existe una geodésica $\gamma : [0,1] \to X$ entre $x$ y $y$ . Si esta geodésica no se encuentra en $C^{bd}$ entonces debe haber algún punto $z = \gamma (t_0) \in \gamma ([0,1])$ que no pertenece a $C^{bd}$ .

Por el teorema de Hahn-Banach, puedo encontrar un hiperplano $H$ que separa estrictamente $C$ y $z$ . Por el teorema del valor intermedio, debe haber algunos tiempos $t_1$ , $t_2$ con $0 < t_1 < t_0 < t_2 < 1$ y tal que $\gamma (t_1)$ y $\gamma (t_2)$ ambos pertenecen a $H$ . La geodésica $\gamma$ restringido a $[t_1, t_2]$ también debe ser una geodésica.

El camino más corto entre dos puntos en $H$ es una línea. Así que, $z$ no puede pertenecer a la geodésica entre $\gamma (t_1)$ y $\gamma (t_2)$ . Obtenemos una contradicción. Por lo tanto, la geodésica entre $x$ y $y$ debe estar en $C^{bd}$ .