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Caminos más cortos entre puntos de la frontera de un conjunto convexo

¿Esta afirmación es cierta y, si es así, tiene un nombre?

Dado un conjunto convexo cerrado acotado, CRn , dejemos que Cint sea el interior de C y Cbd=CCint sea el límite de C . Dados dos puntos x,yCbd cualquier camino "más corto" más corto" entre x,y en RnCint está completamente dentro de Cbd .

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JohnB Puntos 214

No conozco ningún nombre para esta propiedad. Sin embargo, se puede demostrar con bastante rapidez. No me ocuparé de la existencia de la geodésica (algún argumento de compacidad puede funcionar, pero no me resulta obvio cuál), y sólo demostraré que cualquier geodésica en X:=RnCint entre puntos de Cbd debe estar en Cbd .

Dejemos que x , y estar en Cbd . Supongamos que existe una geodésica γ:[0,1]X entre x y y . Si esta geodésica no se encuentra en Cbd entonces debe haber algún punto z=γ(t0)γ([0,1]) que no pertenece a Cbd .

Por el teorema de Hahn-Banach, puedo encontrar un hiperplano H que separa estrictamente C y z . Por el teorema del valor intermedio, debe haber algunos tiempos t1 , t2 con 0<t1<t0<t2<1 y tal que γ(t1) y γ(t2) ambos pertenecen a H . La geodésica γ restringido a [t1,t2] también debe ser una geodésica.

El camino más corto entre dos puntos en H es una línea. Así que, z no puede pertenecer a la geodésica entre γ(t1) y γ(t2) . Obtenemos una contradicción. Por lo tanto, la geodésica entre x y y debe estar en Cbd .

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