Supongamos que para algunos n existen los números deseados; podemos suponer que s1<s2<...<sn . Seguramente s1>1 ya que de lo contrario 1−1s1=0 . Así que tenemos 2≤s1≤s2−1≤s3−2≤....≤sn−(n−1) Por lo tanto si≥i+1 para cada i=1,...,n . Por lo tanto, 512010=(1−1s1)(1−1s2)...(1−1sn)≥(1−12)(1−13)....(1−1n+1)=12⋅23...nn+1=1n+1
lo que implica n+1≥201051=67017>39.
Así que n≥39
Ahora nos queda demostrar que n=39 se ajusta. Considere el conjunto {2,3,...,33,35,36...,40,67} que contiene exactamente 39 números. Tenemos 12⋅23....3233⋅3435...3940⋅6667=17670=512010
Por lo tanto, para n=39 existe un ejemplo deseado.
Y YA ESTÁ HECHO