Encuentra el número entero menos positivo $n$ para que $ \left ( 1- \frac {1}{s_{1}} \right ) \cdots \left ( 1- \frac {1}{s_{n}} \right )= \frac {51}{2010}$

Question

Encuentra el número entero menos positivo $n$ para el cual existe un conjunto $ \left \{ s_{1}, s_{2},....,s_{n} \right \}$ que consiste en $n$ números enteros positivos distintos, de tal manera que $$ \left ( 1- \frac {1}{s_{1}} \right ) \left ( 1- \frac {1}{s_{2}} \right ) \cdots\left ( 1- \frac {1}{s_{n}} \right )= \frac {51}{2010}$$

Mi idea era asumir que $s_{1}< s_{2}< \cdots < s_{n}$ Así que no puedo saber cómo empezar, cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Supongamos que para algunos $n$ existen los números deseados; podemos suponer que $s_{1}< s_{2}< ...< s_{n}$ . Seguramente $s_{1}> 1$ ya que de lo contrario $1-\frac{1}{s_{1}}=0 $ . Así que tenemos $2\leq s_{1}\leq s_{2}-1\leq s_3 - 2\leq ....\leq s_{n} - (n-1)$ Por lo tanto $s_{i}\geq i+1$ para cada $i=1,...,n$ . Por lo tanto, $$\frac{51}{2010}=\left ( 1-\frac{1}{s_{1}} \right )\left ( 1-\frac{1}{s_{2}} \right )...\left ( 1-\frac{1}{s_{n}} \right )\geq \left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )....\left ( 1-\frac{1}{n+1} \right )=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} ... \frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$$

lo que implica $$n+1\geq \frac{2010}{51}=\frac{670}{17}> 39.$$

Así que $n\geq 39$

Ahora nos queda demostrar que $n=39$ se ajusta. Considere el conjunto $\left \{ 2,3,...,33,35,36...,40,67 \right \}$ que contiene exactamente $39$ números. Tenemos $$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}....\frac{32}{33}\cdot \frac{34}{35}...\frac{39}{40}\cdot \frac{66}{67}=\frac{17}{670}=\frac{51}{2010}$$

Por lo tanto, para $n=39$ existe un ejemplo deseado.

Y YA ESTÁ HECHO