Demuestra que estas dos rectas son perpendiculares.

Question

Consideremos un paralelogramo $WXYZ$ , con puntos $A$ y $B$ en los laterales $WX$ y $XY$ respectivamente, de modo que $\angle WAZ = \angle YBZ$ . Sea el punto medio de $WY$ sea $M$ . Demostrar que $OM$ , donde $O$ es el centro del círculo $AXB$ es perpendicular a $WY$ .

EDIT: En respuesta a la solución de Mick. Creo que tienes que explicar por qué la igualdad de ángulos significa que las dos líneas son paralelas. Creo que tu solución se rompe cuando dices que KMN es una línea recta sin pruebas. Aquí hay una imagen donde tus dos primeros párrafos son correctos, pero no resuelve el problema porque los ángulos originales no son iguales.

Answer 1

Que haya un círculo rojo que pase por $\triangle WXY$ con su circuncentro en K. Este círculo cortará al círculo azul (la circunferencia que pasa por $\triangle AXB$ con centro O) en G.

Como M es el punto medio de la cuerda WY, $KM \bot WY$ .

Como KO (extendida) es la línea de centros y GX es la cuerda común de los círculos rojo y azul, obtenemos $KO \bot GX$ en N y N es el punto medio de GX.

De lo anterior - (1) KMN es una línea recta que une los centros a los puntos medios de dos cuerdas paralelas; y (2) KON es la línea de los centros y por lo tanto también es una línea recta, podemos decir que KMON es línea recta. El resultado se deduce porque $\angle KMY$ está en ángulo recto.

Observaciones:-

1) La línea punteada verde es la bisectriz del ángulo de $\angle WZY$ para tener $\angle WAZ = \angle YBZ$ .

2) Se puede prescindir del círculo de puntos.

3) $\angle WAZ$ [editar: $= \angle YBZ$ restringe la forma en que se puede dibujar el círculo azul, pero no tiene ninguna otra relación con la conclusión. [editar: Los ángulos sombreados del mismo color variarán, por supuesto, pero tampoco tienen relación con la conclusión].