Una ecuación con dos variables es irresoluble, ya sea para uno, pero ¿cómo puedo saber si es irresoluble como una expresión de ambos?

Question

Extraño título tal vez, así que permítanme ilustrar con la pregunta que me puso a pensar acerca de este problema:

Usted va a comprar una laptop y tengo dos para elegir. ¿Cuál es la la diferencia entre los precios originales de los dos ordenadores portátiles?

Lo que sabe: Después de que los portátiles han bajado de precio un 35% y 45 % respectivamente, la diferencia de precio entre ellos es de $50.

Puede que esta respuesta se determina?

Intuitivamente, yo diría que no. Si escribo el problema algebraicamente que obtengo:

0.65a - 0.55b = 50

Es obvio que podemos nunca a o b de este, pero eso no es lo que están pidiendo. Se está preguntando lo a - b (o más bien |a - b|).

Entiendo que esta respuesta aún no se puede determinar, pero si los porcentajes fueron de 50 (o cualquier número del mismo) yo podría escribir:

0.5a - 0.5b = 50

Que se simplifica a:

a - b = 100

No estoy muy a entender el porqué de que no puedo resolver por a - b de cualquier ecuación que incluye a y b. ¿Cuál es la inutition para que me ayude a entender el porqué de esta pregunta es irresoluble en el caso de porcentajes diferentes, pero que tienen solución en el caso de la misma?

Answer 1

Como usted dijo, tenemos: $$0.65a - 0.55b = 50$$ Vamos a tratar de adivinar y comprobar diferentes $(a, b)$ a resolver este problema.

• Adivinar $b=10$ nos da $a \approx \$85.38$, meaning $\lvert a-b \rvert \approx \$75.38$
• Adivinar $b=20$ nos da $a \approx \$93.85$, meaning $\lvert a-b \rvert \approx \$73.85$

Por lo tanto, hay varios valores posibles de $\lvert a-b \rvert$, por lo que no podemos resolver, para $\lvert a-b \rvert$ a partir de la ecuación original: no sólo Hay una respuesta única para que la expresión que podemos resolver utilizando sólo la ecuación.

La razón intuitiva de por qué esta puede ser encontrada usando álgebra lineal. La ecuación en la parte superior nos da la siguiente matriz ampliada: $$[\begin{matrix}0.65 \ -0.55 \ | \ 50\end{matrix}]$$ Queremos resolver para $a-b$ que puede ser representada como: $$[\begin{matrix}1 \ -1\end{matrix}]$$ Sin embargo, $(0.65 \ -0.55)$ tiene una diferente relación de los elementos de la fila $(1 \ -1)$, por lo que son linealmente independientes. Esto significa que la primera matriz no puede ser reducido a la segunda matriz, por lo que no se puede resolver por $a-b$ en términos de $0.65a-0.55b$.

Answer 2

Creo que es debido a que la diferencia entre el $a$ $b$ depende de sus valores en cada caso y que sólo lo que sucede en el caso de que la diferencia no dependen de ellos es cuando ambos caen por el mismo porcentaje. Permítanme ilustrar con el ejemplo que has dado. $$0.65a - 0.55b = 50$$ $$0.55a - 0.55b = 50 - 0.10a$$ $$a-b = \frac{50-0.10a}{0.55}$$ Como se puede ver la diferencia ahora depende de $a$, y esto es lo que generalmente sucede cuando el porcentaje de gotas no son iguales. Intuitivamente piense en ello de esta manera, si $a$ $b$ ambos caen por un particular, el mismo porcentaje que la diferencia será así, pero si no, la diferencia depende de cuánto de un impacto del dto en $a$ con respecto al $b$, lo que depende de sus valores.

Answer 3

Aviso estas son ecuaciones simultáneas. Usted puede romper $a$ $b$ el uso de una cosa que se llama ecuaciones paramétricas.

Supongamos que $a=bc$ algunos $c$. En efecto, debe existir una $c$ por cada $a,b$.

Entonces, tendríamos (problema original)

$$0.65bc-0.55b=50$$

$$b=\frac{50}{0.65c-0.55}$$

Del mismo modo, si multiplicamos por $c$, obtenemos $a=bc$, por lo que

$$a=\frac{50c}{0.65c-0.55}$$

Ahora podemos resolver para $a-b$, que es

$$a-b=\frac{50(c-1)}{0.65c-0.55}$$

En el caso de que se trataba de una relación 50/50, el denominador tendría un factor de $c-1$, lo que quiere cancelar y tendríamos no $c$'s de sobra. Sin embargo, este no es el caso, y así nos quedamos con esta, nuestra solución en términos de $c$.