BdMO 2016 Nacionales Problema Secundario 3.

Question

$\triangle{ABC}$ es isósceles con $AB=AC$, $P$ es un punto interior de a $\triangle {ABC}$ tal que $\angle{BCP} = 30^{o}$, $\angle{APB} = 150 ^{o}$, $\angle{CAP}=39^{o}$. Encontrar $\angle{BAP}$

Este problema es de BdMO 2016 Nacionales ( Secundaria ), con un valor de $20$ puntos. Yo lo he probado después de que el concurso, muchas, muchas veces. Pero no podía encontrar ninguna solución. Cualquier Sugerencia/Solución Total será de ayuda.

Answer 1

Deje $Q$ ser el punto tal que $\triangle{PQB}$ es equilátero y $C$ $Q$ están en el mismo lado de la $PB$. A continuación, $Q$ es el centro de la $\odot BPC$ $AQ$ es la mediatriz de $BC$. Finalmente, como $\angle{APB} = 150^{\circ}$ tenemos $AP \perp QB$ $AP$ biseca $\angle{QAB}$. Por lo $4\angle{BAP} = \angle{BAC}$, lo que implica que $3\angle{BAP} = \angle{CAP}$, lo que implica que $\angle{BAP} = 13^{\circ}$.

Answer 2

Hay otra manera. Su interés es que no requieren una ingeniosa conjetura, es decir, es más sencillo. Un inconveniente es que requiere que, al final, el uso de una calculadora...

Con angular notaciones como se define en la figura anterior, podemos escribir el sistema lineal de 5 ecuaciones con 6 incógnitas:

$$\left\{\begin{aligned}s+u&=&210\\x+y&=&30\\s+t&=&141\\z+u&=&150\\y+z&=&t+30\end{aligned}\right. \ \ \ \ \text{with solution} \ \ \ \ \left\{\begin{aligned}s&=&210-u\\t&=&-69+u \\x&=&219-2u & \implies\ u<109.5\\y&=&-189+2u & \implies u>94.5\\z&=&150-u\end{aligned}\right.$$

Comentario: la última ecuación se tiene en cuenta el hecho de que $ABC$ es isósceles.

Como la solución depende (de forma natural) en un ($1=6-5$=número de incógnitas menos el número de ecuaciones) parámetro, en este caso $u$, tenemos que encontrar otra restricción, que es una relación que podría ser llamado una contigüidad de restricción para los triángulos $ABP$$APC$:

Vamos a utilizar la ley de los senos en cada triángulo, tenemos, con la notación de la figura:

$$\dfrac{a}{\sin(y)}=\dfrac{b}{\sin(150)} \ \ \text{and} \ \ \dfrac{a}{\sin(t)}=\dfrac{b}{\sin(s)}$$

$$\tag{2}\iff \ \ \dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin(y)}{\sin(150)}=\dfrac{\sin(t)}{\sin(s)}$$

El taponamiento de las expresiones de $s,t,y$$(2)$, se tiene:

$$\tag{3}2 \underbrace{\sin(2u-189)\sin(210-u)-\sin(u-69)}_{f(u)}=0$$

Estudiando las variaciones de $f$, se verifica que la ecuación de $(3)$ tiene una única solución

$$u=103° \in [94.5, \ 109.5]$$

(este dominio se define por las relaciones que se encuentra en $(1)$).

Conectar este valor de $u$ en la expresión $x=219-2u$, obtenemos:

$$x=13°$$

Answer 3

por el teorema de los cosenos tenemos $$BP^2=b^2+AP^2-2b\cdot AP\cos(x)$$ (1) además contamos con $$BP=\frac{b\sin(x)}{\sin(150^{\circ}}$$ (2) $$AP=\frac{b\sin(30^{\circ}-x)}{\sin(150^{\circ})}$$ (3) inversión (2),(3) en (1) se obtiene una ecuación en la $x$