Encuentre la máxima potencia de $24$ en $(48!)^2$ ?

Question

Encuentre la máxima potencia de $24$ en $(48!)^2$ ?

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¿Cómo abordar estas cuestiones?

Answer 1

$24=\color\red{2^3}\cdot\color\green{3^1}$

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La multiplicidad de $\color\red{2}$ en $48!$ es $\sum\limits_{n=1}^{\log_{\color\red{2}}48}\Big\lfloor\frac{48}{\color\red{2}^n}\Big\rfloor=24+12+6+3+1=\color\red{46}$

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La multiplicidad de $\color\green{3}$ en $48!$ es $\sum\limits_{n=1}^{\log_{\color\green{3}}48}\Big\lfloor\frac{48}{\color\green{3}^n}\Big\rfloor=16+5+1=\color\green{22}$

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Por lo tanto:

• El valor máximo de $n$ tal que $(\color\red{2^3})^n$ divide $48!$ es $\Big\lfloor\frac{\color\red{46}}{\color\red{3}}\Big\rfloor=\color\red{15}$
• El valor máximo de $n$ tal que $(\color\green{3^1})^n$ divide $48!$ es $\Big\lfloor\frac{\color\green{22}}{\color\green{1}}\Big\rfloor=\color\green{22}$

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Por lo tanto:

• El valor máximo de $n$ tal que $(\color\red{2^3})^n$ divide $(48!)^2$ es $\Big\lfloor\frac{\color\red{46}\cdot2}{\color\red{3}}\Big\rfloor=\color\red{30}$
• El valor máximo de $n$ tal que $(\color\green{3^1})^n$ divide $(48!)^2$ es $\Big\lfloor\frac{\color\green{22}\cdot2}{\color\green{1}}\Big\rfloor=\color\green{44}$

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Por lo tanto, el valor máximo de $n$ tal que $24$ divide $(48!)^2$ es $\min(\color\red{30},\color\green{44})=30$ .

Answer 2

Dividir $48$ por $2$ repetidamente y sumar el cociente omitiendo cualquier resto,

$48/2=24, 24/2=12, 12/2=6, 6/2=3, 3/2=1$ (con el resto como $1$ ). Por lo tanto, sumando los cocientes, es decir $24+12+6+3+1=46$ $\Longrightarrow$ hay $46$ $2$ s en $48!$ y $92$ $2$ s en $(48!)^2$ .

Del mismo modo, divide 48 entre 3 repetidamente y suma los cocientes omitiendo cualquier resto,

$48/3=16, 16/3=5$ (con el resto como $2$ ), $5/3=1$ (con el resto como $2$ ). Sumando estos cocientes se obtiene , $16+5+1=22$ $\Longrightarrow$ Hay $22$ $3$ s en $48!$ y por lo tanto $44$ $3$ s en $(48!)^2$ .

Ahora, el número de $24$ s ( $2^3\times3$ )que se puede hacer desde $92$ $2$ s y $44$ $3$ es $30$ .

Answer 3

HINT Utilice el hecho de que $24=2^3\cdot3$ y aplicar La fórmula de Legendre para calcular la mayor potencia de $2$ y $3$ en $48!$ es decir $$p_2=\sum_{i=1}^{\infty} \left\lfloor \frac {48}{2^i} \right\rfloor $$ $$p_3=\sum_{i=1}^{\infty} \left\lfloor \frac {48}{3^i} \right\rfloor$$ Para $2$ y $3$ respectivamente.