Demostrando la serpiente lema sin un diagrama de chase

Question

Supongamos que tenemos dos breves secuencias exactas en un abelian categoría $$0 \\mathrel{\desbordado{f} {\,}} B \mathrel{\desbordado{g} {\,}} C \to 0 $$ $$0 \' \mathrel{\desbordado{f'} {\,}} B' \mathrel{\desbordado{g'} {\,}} C' \to 0 $$ y morfismos $a : \a', b : B \B', c : C \C'$ hacer la obvia diagrama conmuta. La serpiente lema estados que entonces existe una secuencia exacta $$0 \a \ker un \a \ker b \a \ker c \a \operatorname{coker} a \a \operatorname{coker} b \a \operatorname{coker} c \to 0$$ donde los morfismos entre los granos son inducidos por $f$ y $g$, mientras que los mapas entre la cokernels son inducidos por $f$ y $g'$.

No es difícil mostrar que los morfismos inducida por $f, g, f', g'$ existir, son únicos, y que la secuencia es exacta en $\ker un, \ker b, \operatorname{coker} b \operatorname{coker} c$. Con el uso de un poco grandes diagrama que se muestra aquí, incluso podemos construir la conexión de morfismos $d : \ker c \a \operatorname{coker}$. Sin embargo, estoy atascado mostrando exactitud en $\ker c$ y $\operatorname{coker}$. Pensé Freyd podría haber tenido un elemento libre de la prueba en su libro, pero resulta que él se demuestra por el diagrama de la persecución y la invocación de la Mitchell incrustación teorema [pp 98-99]. Hay una prueba directa?

Answer 1

Siempre se puede "diagrama de persecución" en cualquier abelian categoría, sin invocar ninguna incrustación teorema, utilizando argumentos con subobjetos, como en MacLane del libro.

En cualquier caso, también se puede construir el mapa de los límites de la siguiente manera:

Se nos da un mapa de $b: B \B'$. Deje que $B" \hookrightarrow B$ denotar la preimagen en $B$ de $\ker c$. (Si desea desribe esto en más categórica términos, es el núcleo de la composición de $B \C \C'$.)

A continuación, el mapa de $B"\hookrightarrow B \rightarrow B'$ factores a través de la monomorphism $A' \hookrightarrow B'$ (usando el hecho de que $A' =\ker(B' \C')\, \, $). Esto induce a continuación, un mapa de los cocientes de $ B"/\'/\operatorname{im}$, que es, precisamente, el mapa deseado $\ker c \a\operatorname{coker}.$

La comprobación de los distintos exactitud de reclamaciones es simplemente una cuestión de usar todas las propiedades universales de los núcleos, cokernels, cocientes, etc.

Answer 2

Hay un elemento completamente libre de la prueba en Kashiwara "Categorías y Gavillas" (Sección 12.1).

Answer 3

La salamandra lema descrito por George Bergman y resumido por nlab y el secreto de los blogs seminario ayudar a simplificar las pruebas del diagrama básico de rozas, incluyendo el 3x3, cuatro, la serpiente y el tiempo exacto de diagramas.

Sin embargo, el Secreto Bloggng Seminario decir:

Si no te gusta el diagrama de rozas, es probable que todavía no como ellos una vez que se conoce la Salamandra lema. Las salamandras perseguir a los diagramas para usted, pero usted todavía tiene que perseguir a las salamandras. Creo que la salamandra pruebas son más fáciles de explicar (una vez que sabes la Salamandra lema), y es más fácil de ver cuando se utiliza la hipótesis. Por ejemplo, es totalmente claro que el argumento para el 3x3 lema se puede demostrar la 20x20 lema así.

Answer 4

Hay muy agradable de construcción de la conexión de morfismos en Borceux: Manual de categórico de álgebra II., ch. 1.09 & 1.10. A continuación, la prueba de exactitud de la secuencia utilizando pseudo-elementos, una técnica que hace que el diagrama de perseguir en cualquier abelian categoría similar a la del diagrama de perseguir en las categorías de módulos sobre un anillo (sin perderse con todos los que propiedades universales).

Nada no trivial, es necesario entender que la prueba, y seguramente no Freyd-Mitchell incrustación teorema (que se demuestra más adelante en el libro).