¿Cómo saber si los multiplicadores de Lagrange dan el máximo o el mínimo?

Question

Mi libro me dice que de las soluciones del sistema de Lagrange, la más pequeña es el mínimo de la función dada la restricción y la más grande es el máximo dado que realmente existe.

¿Pero qué pasa si sólo tenemos un punto como solución? ¿Cómo saber si los multiplicadores de Lagrange dan el máximo o el mínimo?

Answer 1

Como Om(nom) $^3$ dijo en los comentarios, si estás trabajando en una región cerrada y acotada entonces no es posible obtener un solo punto crítico.

Si no estás en una región cerrada y acotada, ya no está garantizado que tengas más de un punto crítico. Si sólo tienes un punto crítico, puedes utilizar la función Hessian con bordes técnica. (Gracias a ziggurismo por aclararlo).

Answer 2

De hecho, la prueba de la segunda derivada normal no se aplica a los problemas de extremos restringidos. En su lugar, debe utilizar la prueba Hessian con bordes método. En resumen, en lugar de calcular la definición positiva de la matriz hessiana de las segundas derivadas parciales de $f$ En cambio, se calcula el hessiano de $f-\lambda g$ incluyendo los derivados con respecto a $\lambda$

Answer 3

En una región acotada cerrada una función continua alcanza un máximo y un mínimo. Si utilizas los multiplicadores de Lagrange en una función suficientemente suave y encuentras sólo un punto crítico, entonces tu función es constante porque la teoría de los multiplicadores de Lagrange te dice que el mayor valor en un punto crítico es el máximo de tu función, y el menor valor en un punto crítico es el mínimo de tu función. Por lo tanto, max = min, es decir, la función es constante. También hay que tener en cuenta que el "punto crítico" probablemente debería llamarse de otra manera, como "punto de interés", porque normalmente los puntos críticos se definen como puntos en los que el gradiente es cero.

Answer 4

En el método de los multiplicadores de Lagrange los puntos obtenidos serán puntos críticos (soluciones de una ecuación que tiene la forma $\nabla f(x)=\lambda\varphi(x)$ ) de una función objetivo $f$ (de clase $C^1$ ) restringen a una región $M$ que tienen la forma $M=\varphi^{-1}(c)$ , donde $\varphi$ es una función (de clase $C^1$ ) que proviene de la restricción (que tiene la forma $\varphi(x)=c$ ).

Normalmente, la existencia del máximo y del mínimo proviene de la continuidad de $f$ y la compacidad de $\overline{M}$ . En este caso, $f$ tienen al menos dos puntos críticos en $\overline{M}$ . Sin embargo, hay casos en los que la ecuación $\nabla f(x)=\lambda\varphi(x)$ nos dan una sola solución $p\in M$ (esto es porque el otro punto crítico está en $\overline{M}\setminus M$ ). He aquí un posible enfoque que a veces funciona para estos casos:

• Demuestre que el máximo (o el mínimo) no está en $\overline{M}\setminus M$ .

• Concluir que $p$ es el máximo (o el mínimo) de $f$ en $M$ .

Puede ver ejemplos de este caso aquí , aquí y aquí .

Answer 5

También puedes elegir otro punto que satisfaga las restricciones, evaluar la función para ese punto y ver si ese valor es mayor o menor que el encontrado con los multiplicadores de Lagrange.