La forma en que siempre me he explicado topología a mi no matemáticas amigos es imaginar un pedazo de masilla. Debemos preguntarnos "¿qué queda de la misma sobre la masilla, si somos capaces de estirar, doblar, torcer, etc... siempre que no podemos pegar o cortar en cualquier lugar?" Otra forma en que me gustaría abordar el problema de la no-matemáticas de la gente es que imaginar a su favorito de forma geométrica (supongo que quieres iniciar desde un punto de vista intuitivo con sus alumnos), y yo les digo a considerar las propiedades que podría estar interesado en: ¿cuántas piezas ¿la forma tiene, qué tiene agujeros, ¿cómo es de grande, hay ángulos, ¿cuáles son sus medidas, etc. Entonces pregunto a considerar cuáles son las propiedades de la forma si nos deshacemos de las nociones de tamaño, distancia y ángulos. Desde un punto de vista intuitivo, podríamos decir que estamos simplemente se quedan con los agujeros y las piezas conectadas (es decir, componentes), pero, en esencia, podemos inferir que la Topología es el estudio de las propiedades de algunos objetos geométricos o en el espacio, que siguen siendo los mismos en virtud de la deformación continua.
Esto podría ser una forma de introducir el tema, pero supongo que depende de si esto es la topología de curso para estudiantes o no-mayores. Si es una clase de no-mayores a continuación, podemos ilustrar algunas de las ideas más avanzadas en la topología con interesantes ejemplos: los grupos de homología de grupos, homotopies (incluso haciendo estas cosas con la esfera y el toro, y que ilustran cómo pueden ser utilizados como herramientas de clasificación puede ser suficiente). Si el curso es para estudiantes entonces supongo que tendrás que ir al punto-establecer el enfoque teórico con la definición de una topología en un conjunto como una colección de subconjuntos con global de la unión y la intersección de las propiedades. A partir de point-establecer la topología es importante que constantemente ilustrar tanto las simples contra-intuitivo ejemplos (es decir, no-trivial de topologías sobre finito de conjuntos, por ejemplo), con la más intuitiva de las topologías de los espacios se puede visualizar (colectores en 1 o 2 dimensiones, productos de espacios, distintos sindicatos de espacios, etc.).
Un decente libro para que usted echa un vistazo (y puede ser especialmente atractiva ya que es libremente disponible en línea) es la Topología Sin Lágrimas. Este es un libro conciso que toma un punto de conjunto de enfoque (nada terriblemente avanzada, aunque, sin duda ninguna homología en este texto), pero hace que sea muy fácil. No puede superar el precio.