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¿Qué es la topología?

Romper viene a un cierre, y usted, un reconocido profesor de matemáticas, el paso a una gran sala de conferencias para entregar la primera clase del semestre en la topología. Este es un curso introductorio. La mitad de los estudiantes no puede ni pronunciar homeomorphism. Como usted mira alrededor de la habitación, una gota de sudor trabaja su manera a través de su frente. Todo lo que puedes pensar es en la posibilidad de que toda la clase va a fallar, y que será objeto de burlas por parte de los demás profesores. Luego de tomar un sorbo de agua y contrólate. Escoge un fresco (pero no demasiado dulce) pedazo de tiza, escribir su nombre en la pizarra; efectivamente marcar su territorio-y la dirección de la clase.

¿Cómo se introduce una clase de estudiantes de pregrado en el campo de la topología?

Estoy buscando un creativo, pero la explicación precisa del campo y de los más fundamentales conceptos topológicos. Diagramas y metáforas son bienvenidos.

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Erich Douglass Puntos 21714

La forma en que siempre me he explicado topología a mi no matemáticas amigos es imaginar un pedazo de masilla. Debemos preguntarnos "¿qué queda de la misma sobre la masilla, si somos capaces de estirar, doblar, torcer, etc... siempre que no podemos pegar o cortar en cualquier lugar?" Otra forma en que me gustaría abordar el problema de la no-matemáticas de la gente es que imaginar a su favorito de forma geométrica (supongo que quieres iniciar desde un punto de vista intuitivo con sus alumnos), y yo les digo a considerar las propiedades que podría estar interesado en: ¿cuántas piezas ¿la forma tiene, qué tiene agujeros, ¿cómo es de grande, hay ángulos, ¿cuáles son sus medidas, etc. Entonces pregunto a considerar cuáles son las propiedades de la forma si nos deshacemos de las nociones de tamaño, distancia y ángulos. Desde un punto de vista intuitivo, podríamos decir que estamos simplemente se quedan con los agujeros y las piezas conectadas (es decir, componentes), pero, en esencia, podemos inferir que la Topología es el estudio de las propiedades de algunos objetos geométricos o en el espacio, que siguen siendo los mismos en virtud de la deformación continua.

Esto podría ser una forma de introducir el tema, pero supongo que depende de si esto es la topología de curso para estudiantes o no-mayores. Si es una clase de no-mayores a continuación, podemos ilustrar algunas de las ideas más avanzadas en la topología con interesantes ejemplos: los grupos de homología de grupos, homotopies (incluso haciendo estas cosas con la esfera y el toro, y que ilustran cómo pueden ser utilizados como herramientas de clasificación puede ser suficiente). Si el curso es para estudiantes entonces supongo que tendrás que ir al punto-establecer el enfoque teórico con la definición de una topología en un conjunto como una colección de subconjuntos con global de la unión y la intersección de las propiedades. A partir de point-establecer la topología es importante que constantemente ilustrar tanto las simples contra-intuitivo ejemplos (es decir, no-trivial de topologías sobre finito de conjuntos, por ejemplo), con la más intuitiva de las topologías de los espacios se puede visualizar (colectores en 1 o 2 dimensiones, productos de espacios, distintos sindicatos de espacios, etc.).

Un decente libro para que usted echa un vistazo (y puede ser especialmente atractiva ya que es libremente disponible en línea) es la Topología Sin Lágrimas. Este es un libro conciso que toma un punto de conjunto de enfoque (nada terriblemente avanzada, aunque, sin duda ninguna homología en este texto), pero hace que sea muy fácil. No puede superar el precio.

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Un profesor me dijo que la Topología es el estudio de las funciones continuas. Creo que esta es la mejor explicación para el día 1 de una clase en la topología. Todos hemos escuchado la taza de café vs donut analogías, pero estos son bastante lejanos de un primer semestre en la topología.

De hecho, gran parte del primer semestre, se dedicaron a tratar con (relativamente) patológico a los espacios. Los estudiantes están familiarizados con los números reales, que son más o menos educada, pero la intuición que tenemos aquí no se aplican a los no-espacios de Hausdorff, por ejemplo.

El primer semestre de topología se enseñan a los estudiantes de precisión en una manera que antes no sabía. Se exponen a diversas formas de generalizar los espacios están familiarizados con, y cómo estas generalizaciones son útiles o interesantes. Puede ser la primera vez que los estudiantes ver (relativamente) un comportamiento patológico - tales como el trivial de la topología de la recta real donde cada secuencia converge a cada número. También será perspectiva sobre la historia de las matemáticas - considerar la diferencia entre el límite de punto de compacidad y compacidad. Históricamente, el límite de punto de compacidad vino primero, ya que funciona en los espacios familiares. La compacidad como podemos formular ahora llegó más tarde.

De todos modos, sé que esto es un montón de pequeñas cosas en lugar de uno grande cosa interesante, pero si yo fuera a enseñar topología en algún momento en el futuro, estas son las cosas que me gustaría decirle a los estudiantes acerca de. Debo mencionar también mayor topológico conceptos como el nudo de la teoría, la taza de café vs donut, etc, pero yo les digo a mis alumnos que es lo que podría hacer en los próximos cursos, ya que es raro que estas cosas serán consideradas en un primer semestre.

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EllJayArr Puntos 31

Creo que la topología nace principalmente de la necesidad de tener una visión de bajo nivel de la particular estructura matemática, es decir, un espacio topológico puede ser entendido como un espacio de más bajo nivel que finito-dimensional Euclideano espacios, normativa espacios de Hilbert espacios. Muchos de estos espacios, y entre los más estudiados, son claramente todos los espacios topológicos. Una variedad diferenciable es un espacio topológico. Evidentemente las propiedades que definen una topología son buenas y válidas para un gran número de otros espacios. Históricamente, el cálculo infinitesimal conceptos nacen antes, de bien conocidos de topología general de los resultados se puede deducir de la definición de continuidad de una función de variable real, o más en general la continuidad entre espacios métricos que se estudia en un curso de cálculo, puede haber otros muchos ejemplos. También son muy útiles los axiomas de separación, por ejemplo, si un espacio topológico Hausdorff, entonces es cierto el teorema de unicidad del límite. Hay una mezcla de estructuras tales como los espacios vectoriales topológicos, que siempre son espacios topológicos y que son importantes en el análisis funcional. Espacios topológicos son muy importantes en la geometría diferencial. Existe una disciplina llamada topología algebraica (pero yo no sé mucho). Sin embargo, esto parece justo que la estructura topológica del espacio es algo pequeño en comparación con estructuras matemáticas con más propiedades, que son siempre espacios topológicos.

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