No sigo mucho los grandes avances, pero mi artículo favorito de este año fue el de Raphael Zentner Las 3 esferas de homología entera admiten representaciones irreducibles en $SL_2(\Bbb C)$ .
Se sabe desde hace tiempo, y es un corolario del teorema de la geometrización, que gran parte de la geometría y la topología de los 3-manifolds está oculta dentro de su grupo fundamental. De hecho, mientras un 3-manifold (orientado cerrado) no pueda escribirse como una suma conectada de otros dos 3-manifolds, y no sea un espacio lente $L(p,q)$ , el grupo fundamental determina por completo el 3er. Manipulador. (La primera condición no es muy grave - hay una descomposición canónica y computable de cualquier 3-manifold en una suma conectada de componentes que todos no pueden ser reducidos por suma conectada más). Un caso muy especial de esto es la conjetura de Poincare, que dice que un 3-manifold simplemente conectado es homeomorfo a $S^3$ .
Se convirtió en algo natural preguntarse de cuánto se puede recuperar, en lugar del grupo fundamental, su variedades de representación $\text{Hom}(\pi_1(M), G)/\sim$ , donde $\sim$ identifica las representaciones conjugadas. Esto se estudió en particular para $G = SU(2)$ . He aquí una conjetura aún abierta en este ámbito, una especie de refuerzo de la conjetura de Poincare: si $M$ no es $S^3$ existe un homomorfismo no trivial $\pi_1(M) \to SU(2)$ . (Esto es evidente cuando $H_1(M)$ es distinto de cero).
Zentner fue capaz de resolver un problema más débil en positivo: cada 3-anifold orientado cerrado $M$ que no sea $S^3$ tiene un homomorfismo no trivial $\pi_1(M) \to SL_2(\Bbb C)$ . $SU(2)$ es un subgrupo de $SL_2(\Bbb C)$ , por lo que no es tan fuerte. Lo hace en tres pasos.
1) Toda colector hiperbólico soporta un mapa no trivial $\pi_1(M) \to SL_2(\Bbb C)$ ; esto lo proporciona la estructura hiperbólica. 2) (Esta es la parte principal del argumento.) Si $M$ es el "empalme" de dos nudos no triviales en $S^3$ (eliminar pequeñas vecindades de los dos nudos y pegar los toros límite de forma adecuada), entonces hay un homomorfismo no trivial $\pi_1(M) \to SU(2)$ . 3) Todo 3-manifold con la homología de $S^3$ tiene un mapa de grado 1 hacia una variedad hiperbólica, una variedad de Seifert (que desde hace tiempo se sabe que tiene homomorfismos hacia $SL_2(\Bbb C)$ o el empalme de dos nudos, y los mapas de grado 1 son suryentes en los grupos fundamentales.
La aproximación a (2) consiste en escribir las variedades de representación de cada complemento de nudo y entender que la variedad de representación del empalme corresponde a una especie de intersección de estas variedades de representación. Así que intenta demostrar que deben intersecarse absolutamente. Y ahora la cosa se pone chula: hay una relación entre estas variedades de representación y las soluciones de una cierta EDP en 4 manifolds llamada "ecuación ASD". Zentner demuestra que si estas cosas no se cruzan, se puede encontrar una cierta perturbación de esta ecuación que no tiene soluciones. Pero Kronheimer y Mrowka habían demostrado previamente que en el contexto que se plantea, esa ecuación debe tener soluciones, y así se deriva su contradicción.
Esto se encuentra dentro del campo de la teoría gauge, donde uno trata de entender las variedades mediante la comprensión de ciertas EDP en ellas. Hay otro invariante de la teoría gauge llamado homología de los instantones, que es la homología de un complejo de cadenas en el que los generadores corresponden (más o menos) a representaciones $\pi_1(M) \to SU(2)$ . (El diferencial cuenta las soluciones de una determinada EDP, como antes.) Así que hay otra pregunta, un refuerzo de la que Zentner avanzó parcialmente: "Si $M \neq S^3$ es $I_*(M)$ no cero?" Quién sabe.
