Encontrar $\sin\frac{\pi}{3}+\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3}+\frac{1}{3}\sin\frac{3\pi}{3}+\cdots$

Question

Encontrar $$\sin\frac{\pi}{3}+\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3}+\frac{1}{3}\sin\frac{3\pi}{3}+\cdots$$

El término general es $\frac{1}{r}\sin\frac{r\pi}{3}$

Deje $z=e^{i\frac{\pi}{3}}$ A continuación, $$\frac{1}{r}z^r=\frac{1}{r}e^{i\frac{r\pi}{3}}$$ Tengo que encontrar la parte imaginaria de $$P=\sum_{r=1}^\infty \frac{1}{r}z^r$$

Deje $$S=1+z+z^2+\cdots$$ Por lo tanto, $$P=\int_0^z Sdz=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\cdots$$ que es la suma.

$$S=\frac{1}{1-z}$$ $$P=\int_0^z \frac{1}{1-z}dz$$ $$P=\ln\left(\frac{1}{1-z}\right)=\ln\left(\frac{1}{1-e^{i\frac{\pi}{3}}}\right)=i\frac{\pi}{3}$$

Por lo tanto, la parte imaginaria de $P$ $\frac{\pi}{3}$

Este método es correcto? ¿Hay algún método que no requiere de los números complejos?

Answer 1

El análisis en el OP obras. Aquí, nos dirigimos a la pregunta sobre la necesidad de utilizar el análisis complejo.

Para ello, en primer lugar tenga en cuenta que el uso estándar de identidades trigonométricas, podemos evaluar la suma

$$\begin{align}\sum_{n=1}^N \cos(nx)&=\frac{\sin(x)}{\sin(x)}\sum_{n=1}^N \cos(nx)\\\\ &=\csc(x)\sum_{n=1}^N\left(\frac{\sin((n+1)x)-\sin((n-1)x)}{2}\right)\\\\ &=\csc(x)\left(\frac{\sin((N+1)x)+\sin(Nx)-\sin(x)}{2}\right)\\\\ &=\csc(x)\left(\sin\left(\frac{(2N+1)x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac12\\\\ &=\frac{\sin\left(\frac{(2N+1)x}{2}\right)}{2\sin(x/2)}-\frac12 \end{align}$$

Entonces, podemos escribir la serie de interés como

$$\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n}&=\lim_{N\to \infty}\int_0^x \sum_{n=1}^N \cos(nx') \,dx'\\\\ &=\lim_{N\to \infty}\int_0^x \frac{\sin\left(\frac{(2N+1)x'}{2}\right)}{2\sin(x'/2)} \,dx'-\frac12 x \tag 1\\\\ \end{align}$$

Por último, evaluar el límite en $(1)$ revela por $|x|<2\pi$

$$\begin{align} \lim_{N\to \infty}\int_0^x \frac{\sin\left(\frac{(2N+1)x'}{2}\right)}{2\sin(x'/2)} \,dx'&=\lim_{N\to \infty}\int_0^{(N+1/2)x} \frac{\sin(x')}{(2N+1)\sin\left(\frac{x'}{2N+1}\right)} \,dx' \\\\ &=\text{sgn}(x)\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,dx \\\\ &=\frac{\pi}{2}\text{sgn}(x)\tag 2 \end{align}$$

Poner a $(1)$ $(2)$ produce por $0<x<2\pi$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n}=\frac12(\pi-x)$$

Por lo tanto, para $x=\pi/3$, nos encontramos con que

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\pi/3)}{n}=\frac{\pi}{3}$$

como se esperaba!

Answer 2

Esto se puede hacer con series de Fourier. Deje $f(x)=x$$x\in(-\pi,\pi)$, y su periódico extensión del período $2\pi$. Entonces, desde el $f(x)=-f(-x)$ podemos representar como $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\left(nx\right)$$ Entonces podemos calcular $$\begin{align}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx&=\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\left[-\frac xn\cos(nx)+\frac1{n^2}\sin(nx)\right]_{-\pi}^{\pi}\\ &=-\frac{2\pi}n(-1)^n=\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}b_m\sin(mx)\sin(nx)dx\\ &=\sum_{m=1}^{\infty}b_m\pi\delta_{mn}=\pi b_n\end{align}$$ Así $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac2n(-1)^{n+1}\sin(nx)$$ Podemos ver que $$\sin\left(n\left(\pi-\frac{\pi}3\right)\right)=\sin(n\pi)\cos\left(n\frac{\pi}3\right)-\cos(n\pi)\sin\left(n\frac{\pi}3\right)=(-1)^{n+1}\sin\left(n\frac{\pi}3\right)$$ Y, finalmente, $$\frac{2\pi}3=\pi-\frac{\pi}3=f\left(\pi-\frac{\pi}3\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac2n(-1)^{n+1}\sin\left(n\left(\pi-\frac{\pi}3\right)\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac2n\sin\left(n\frac{\pi}3\right)$$ Lo cual está de acuerdo con el resultado de la pregunta.