Yo estaba tratando de enseñar a mí mismo algunos conceptos básicos de la teoría de la Mentira, y me encontré con esta declaración en Mathworld, relacionadas con el colector de un grupo, $\alpha\beta\alpha^{-1}\beta^{-1}$, para el colector de su Mentira álgebra, $[A,B] = AB-BA$:
Por ejemplo, supongamos $A$ $B$ ser matrices cuadradas, y deje $\alpha(s)$ $\beta(t)$ ser trazados en la Mentira de grupo de nonsingular matrices que satisfacen $$\begin{align} \alpha(0)=\beta(0) &= I \\ \left.\frac{\partial\alpha}{\partial s}\right|_{s=0} &= A \\ \left.\frac{\partial\beta}{\partial s}\right|_{s=0} &= B,
\end{align}$$ entonces $$\left.\frac{\partial}{\partial s}\frac{\partial}{\partial t}\alpha(s)\beta(t)\alpha^{-1}(s)\beta^{-1}(t)\right|_{(s=0,t=0)}=2[A,B].$$
Cuando traté de derivar esto para mí mismo, con el hecho de que $$\left.\frac{\partial\alpha^{-1}}{\partial s}\right|_{s=0} = \left.-\alpha^{-1}\frac{\partial\alpha}{\partial s}\alpha^{-1}\right|_{s=0} = -A,$$ He ampliado la expresión para obtener $$\left.\frac{\partial}{\partial s}\frac{\partial}{\partial t}\alpha\beta\alpha^{-1}\beta^{-1}\right|_{(s=0,t=0)}$$ $$=\left.\left( \frac{\partial\alpha}{\partial s}\frac{\partial\beta}{\partial t}\alpha^{-1}\beta^{-1} + \alpha\frac{\partial\beta}{\partial t}\frac{\partial\alpha^{-1}}{\partial s}\beta^{-1} + \frac{\partial\alpha}{\partial s}\beta\alpha^{-1}\frac{\partial\beta^{-1}}{\partial t} + \alpha\beta\frac{\partial\alpha^{-1}}{\partial s}\frac{\partial\beta^{-1}}{\partial t} \right)\right|_{(s=0,t=0)}$$ $$=AB - BA - AB + AB$$ $$=[A,B].$$
La diferencia es que el factor de 2 falta. Esto parece estar de acuerdo con las notas de la conferencia que he encontrado en el MIT OCW, que el estado (en Ch. 2, PDF 1) que si $X, Y \in \mathfrak{g}$,
$\exp(-tX)\exp(-tY)\exp(tX)\exp(tY) = \exp\{t^2[X,Y]+O(t^3)\}$.
Dado que este no es mi área de especialización, quería asegurarse de que tiene las cosas bien antes de que me puse en contacto MathWorld acerca de un error tipográfico. He hecho algo mal en alguna parte, o es el MathWorld declaración realmente un error?
