Divergencia/convergencia de una serie

Question

¿cómo puedo demostrar que esta serie diverge/convierte? He utilizado todos los criterios adecuados pero no ha salido nada útil ¿alguna idea?

$$\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{{\sin (n)\cos (n^2 )}}{\sqrt n +\sqrt[3]n}}$$

Answer 1

Esto es bastante desagradable, pero totalmente factible.

Convergente:

En primer lugar, reescribe el numerador utilizando la fórmula del producto a la suma, como sigue:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{{\sin (n)\cos (n^2 )}}{\sqrt n +\sqrt[3]n}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{{\sin (n(n+1))-\sin (n(n-1) )}}{\sqrt n +\sqrt[3]n}}$$

Fíjate en que el numerador parece que se está teledirigiendo un poco. Si escribes los primeros términos, el patrón es bastante fácil de distinguir.

$$\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{{\sin (n(n+1))-\sin (n(n-1) )}}{\sqrt n +\sqrt[3]n}} $$

$$= \frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^\infty{\sin (n(n+1))\bigg(\frac{1}{\sqrt n + \sqrt[3] n} - \frac{1}{\sqrt {n+1} + \sqrt[3] {n+1}}\bigg)}$$

Siguiente, ya que:

$$\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^\infty{\bigg|\sin (n(n+1))\bigg(\frac{1}{\sqrt n + \sqrt[3] n} - \frac{1}{\sqrt {n+1} + \sqrt[3] {n+1}}\bigg)\bigg|}$$

$$ \leq \frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^\infty{\bigg(\frac{1}{\sqrt n + \sqrt[3] n} - \frac{1}{\sqrt {n+1} + \sqrt[3] {n+1}}\bigg)} \leq \infty$$ (por la prueba integral)

...tenemos que la serie es absolutamente convergente.

Edición: Claridad.