Considerar el número irracional $\sqrt{2}$. Puede ser escrito en términos, es decir, en una forma cerrada de expresión, de dos números racionales como $2^{\frac{1}{2}}$.
Es, en general, que cada número irracional puede ser escrito en términos, es decir, en una forma cerrada de la expresión, de un número finito de números racionales? Para los números irracionales como $e$ y $\pi$ esto no es inmediatamente claro.
Un poco más de detalle, se han incluido una función de raíz cuadrada. Supongamos que añadimos en un vocabulario finito de funciones que pueden usarse también, el logaritmo de la base $e,$ exponencial, trigonométricas, trigonométricas inversas, trigonometría hiperbólica, su lista de favoritos de menos "elemental" funciones suh como hipergeométrica, Lambert W, lo que sea.
Cualquier expresión es todavía un número finito de la cadena de la combinación de los números racionales y fija alfabeto de funciones. Como un resultado, el resultado es una contables lista de números. Por lo tanto, aún una multitud innumerable que no correspondía.
No, por contar el argumento de que la pena recordar: Hay $\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$ números reales, pero el conjunto de finito de conjuntos de los números racionales es contable. La prueba de esta última afirmación es relativamente sencillo: ya que podemos hacer un mapa de los números racionales a los números enteros, podemos mapa finito de conjuntos de racionales para finito de conjuntos de números enteros. Pero ahora, para cada conjunto finito de números enteros $\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\}$ — que es evidente que se puede asumir es dada en orden creciente a asociar la cantidad de $2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}\ldots p_n^{a_n}$ donde $p_n$ es el $$n th prime. Usted debe ser capaz de convencer a ti mismo de que esta asignación es uno-a-uno, y por lo que sólo puede ser countably muchos finito de conjuntos de racionales.
De hecho, este argumento muestra que 'casi todos' reales no tienen finito descripción — ya sea en términos de racionales, las raíces de ecuaciones algebraicas, o incluso un inglés descripción como " la décima $x\gt 0$ donde $e^x\sin(x) = 1.5$'—.
Asumiendo que su forma cerrada de la siguiente manera alguna fórmula general, todos los números irracionales son una función de los números racionales. Como tal, usted puede enumerar. Usted puede utilizar el Cantor de la diagonal argumento para la construcción de un número irracional que no pertenece a la serie original, por lo tanto, hay números irracionales que no puede ser escrito utilizando su esquema.
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