El grupo libre n contiene un subgrupo de índice 2

Question

Mi problema es demostrar que cualquier grupo libre $F_{n}$ tiene un subgrupo normal de índice 2. Sé que cualquier subgrupo de índice 2 es normal. Pero, ¿cómo puedo encontrar un subgrupo de índice 2?

El subgrupo tiene que tener 2 cosets. Mi primera hipótesis es construir un subgrupo $H<G$ como $H = <x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, ... , x_{n}^{2} >$ pero esto no sería correcto porque $x_{1}H \ne x_{2}H \ne H$ .

¿Cuál es la forma de construir dicho subgrupo?

Answer 1

Utilice la propiedad universal de los grupos libres: defina un conjunto teórico función

$$f:\{x_1,...,x_n\}\to C_2=\langle c\rangle\,\,,\,\,f(x_1):=c\,\,,f(x_i)=1\,\,\,\forall\,i=2,3,...,n$$

Entonces existe un único homomorfismo de grupo

$$\phi: F_n\to C_2\,\;\; s.t. \;\;\,\phi(x_i)=f(x_i)\,\,\,\forall\,i=1,2,....,n\,$$

Bueno, $\,\ker\phi\,$ es tu hombre...

Answer 2

El subgrupo $H$ de palabras de longitud uniforme, es decir, formado por todas las palabras $x_{i_1}^{n_1}x_{i_2}^{n_2}\cdots x_{i_r}^{n_r}$ con la suma de los exponentes pares, tiene índice $2$ en $G$ .

Answer 3

Para cualquier subgrupo $H$ de $G$ y elementos $a$ y $b$ de $G$ las siguientes afirmaciones son válidas.

• Si $a \in H$ y $b \in H$ entonces $ab \in H$
• Si $a \in H$ y $b \not\in H$ entonces $ab \not\in H$
• Si $a \not\in H$ y $b \in H$ entonces $ab \not\in H$

De ahí que sea natural preguntarse cuándo $a \not\in H$ y $b \not\in H$ implica $ab \in H$ es decir, cuando un subgrupo es un "subgrupo de paridad", como en $G = \mathbb{Z}$ y $H = 2\mathbb{Z}$ o en $G = S_n$ y $H = A_n$ . Supongamos que $H$ es un subgrupo propio ya que el caso $H = G$ no es interesante. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $[G:H] = 2$
2. Para todos los elementos $a \not\in H$ y $b \not\in H$ de $G$ tenemos $ab \in H$ .
3. Existe un homomorfismo $\phi: G \rightarrow \{1, -1\}$ con $\operatorname{Ker}(\phi) = H$ .

Así que estos subgrupos de paridad son precisamente todos los subgrupos de índice $2$ . Creo que se podría utilizar (2) en la respuesta de PatrickR y (3) en la respuesta de DonAntonio. Por supuesto, ambas son respuestas buenas y completas en sí mismas, esto es sólo una forma que me gusta pensar en los subgrupos de índice $2$ .