La máxima de la izquierda ideales $\leftrightarrow$ sencillo a la izquierda módulos

Question

Supongamos $R$ es un anillo con unidad. Este pasaje en Lang Álgebra se analiza la correspondencia $$\text{Maximal left ideals of $R$} \leftrightarrow \text{Simple left $R$ modules},$$

donde I corresponde a la izquierda del módulo de $R/I$, e $M$ corresponde a $R/\text{Ann}_R(m)$ (el destructor de $m$$R$), donde $m$ es un generador de $M$. Lang dice que es bijective hasta isomorfismo.

Me gustaría entender esta correspondencia...es cierto que $I \cong J$ en el lado izquierdo implica $R/I \cong R/J$ en el lado derecho? (Sé que esto no es cierto para arbitrario subgrupos de un grupo, por ejemplo). Edit: Comentaristas han demostrado que esto no es cierto. Ahora estoy interesado principalmente en los siguientes:

Estoy tratando de demostrar que si $m$ $n$ son dos generadores de $M$ sencillo, a continuación, $$\text{Ann}_R(m)\cong \text{Ann}_R(n) \tag{1}$$ as left $R$ submodules of $R$.

Hasta ahora no he sido capaz. Sabemos que existen $p,q \in R$ tal que $m = pn$$n = qm$. A continuación, un mapa de izquierda a derecha en (1) es correcta la multiplicación por $p$, y de derecha a izquierda podemos tomar a la derecha la multiplicación por $q$. Estos son sin duda homomorphisms...me gustaría mostrar que están isomorphisms. Hasta ahora no he tenido éxito.

Actualización: parece Que hay un contraejemplo a la anterior mapas isomorphisms si elegimos generadores $1,2$$5\mathbb{Z}$. Así que tendremos que usar otro mapa para mostrar el isomorfismo (si es correcto).

Answer 1

La expresión de un simple módulo de $S$ como un cociente $R/T$ proyectando $1\in R$ en un generador de $S$ es tal que $T$ depende de la elección del generador de $S$.

Por ejemplo, en $M_2(\Bbb R)$, considerar el ideal de derecho de matrices cuyos fila inferior es cero. Se genera por tanto $[\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}]$$[\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}]$, pero el destructor de la antigua es el ideal de derecho de las matrices con la parte superior de la fila cero, y el destructor de esto último es el ideal de derecho de matrices con la parte inferior de la fila cero.

En el citado pasaje, al menos, el autor no expresa muy claramente lo que se entiende por "hasta el isomorfismo." La manera en que el primero que eligió para interpretar no funciona (como demuestran los ejemplos que se dan en $\Bbb Z$ en otras soluciones.)

Usted puede encontrar en la literatura donde los dos de la izquierda ideales $L$, $L'$ se llama similares si $R/L\cong R/L'$ a la izquierda $R$ módulos. El $\Bbb Z$ ejemplo se muestra máxima de la izquierda ideales puede ser isomorfo sin ser similares. (Y yo creo que puede ser similar sin ser isomorfo, pero no tengo un ejemplo en mente).

La similitud es claramente una relación de equivalencia en los ideales de la izquierda, y se queda así, si se restringen al máximo de los ideales de la izquierda. Claramente no importa que el generador de $S$ usted escoja, la resultante de los cocientes de la forma $R/L$ son todos mutuamente isomorfo, por lo que el simple módulo de la izquierda corresponde a una clase de equivalencia en virtud de la similitud.

Para reiterar: se podría decir que las clases de equivalencia de similar máxima de la izquierda son los ideales en bijective correspondencia con el (iso)clases de simple a la izquierda de los módulos, usando el mismo esquema que Lang contornos.

Answer 2

Considere la posibilidad de $2\mathbb{Z}$$3\mathbb{Z}$, los cuales son isomorfos como $\mathbb{Z}$-módulos, pero los cocientes $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ no lo son.

De hecho, Lang "bijective hasta isomorfismo" no es muy clara.

Si $S$ es un simple módulo, a continuación,$R/\operatorname{Ann}_R(m)\cong S$, para cada $m\in S$, $m\ne0$. Y esto es todo cuanto se puede decir.

Answer 3

Hay un ejemplo (acreditado a Swan) en la Sección 17 del libro "Módulos Estables y el $D(2)$-Problema" de F. E. A. Johnson (Londres Matemáticas. Soc. Conferencias Notas 301 (2003)) de un anillo de $\Lambda$ (que es la máxima orden en un álgebra de cuaterniones $\mathbb{Q}(\zeta+\bar{\zeta})$ donde $\zeta=e^{\pi i/8}$) y dos máximas izquierda ideales $\Omega_1$ $\Lambda(a_1)$ $\Lambda$ que no son isomorfos como a la izquierda $\Lambda$-módulos, pero tal que $\Lambda/\Omega_1\cong\Lambda/\Lambda(a_1)$ a la izquierda $\Lambda$-módulos.

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