La visualización de cómo Cech cohomology detecta agujeros

Question

Creo que es bastante intuitivo de cómo singular/simplicial cohomology detecta "agujeros" en un espacio.

¿Cómo podemos visualizar directamente cómo y en qué sentido la Cech cohomology de una cubierta que hace esto?

En caso de que sea de algún interés, aquí hay dos ejemplos que yo he mirado con el constante gavilla de $\mathbb{Z}$:

(1) El disco, cubierto "diagrama de Venn" estilo con tres parches abiertos $U_1, U_2, U_3$ superposición cerca del centro (como este, pero con superposiciones), y

(2) La restricción de la cobertura hasta el límite del círculo de la disco: tres abre $U_1, U_2, U_3$ con 3 dobles intersecciones $U_{12}, U_{13}, U_{23}$ y no triple intersección.

Si usted mira la Cech complejo en (2), la $H^1=\mathbb{Z}$ "viene de" el hecho de que usted puede anotar un triple de elementos $(1,0,0)$ en $U_{12}, U_{13}$,$U_{23}$, lo que "permitiría" no están de acuerdo sobre la triple superposición en (1), pero ya que está "missing", $(1,0,0)$ son contados como un cocycle, que no es un coboundary. Aún mejor, la presentación de este $H^1$ que se obtiene de la Cech complejo es de $\mathbb{Z}^3/\{(a,b,c)=(b,c,a)\}$, que es isomorfo a $\mathbb{Z}$ porque puede "rotar" todas las coordenadas "en torno a la falta de intersección" en el primer componente.

Creo que un afines como el análisis de las dimensiones superiores análogos similares de la intuición. Existen formulaciones de la Cech compleja realidad que precisa de cómo esta intuición debe trabajar? ¿Qué está pasando aquí?

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Seguimiento:los Siguientes Mariano respuesta a continuación, empecé a leer sobre Abstracto simplicial complejos y sus cohomology, que parece justo lo que estaba buscando. Lo que más me ayudó fueron las ideas que

1) La constante (gavilla) Cech cohomology de una cubierta de $\cal{U}$ de $X$ "es" la simplicial cohomology de su nervio
$N(\cal{U})$, un resumen simplicial complejo,

2) La simplicial cohomology de un resumen simplicial complejo "es" la singular cohomology de la geometría de su realización, y

3) La realización geométrica de los nervios de una cubierta de $X$ es un "simple aproximación" de $X$,

Lo que en este sentido, podemos decir precisamente que

Cech constante (gavilla) cohomology en una cubierta detecta agujeros en un "simple aproximación" a $X$ se define por la portada.

En particular, ver las caras de un complejo simplicial codificado como formal de la cuña de los productos de sus vértices totalmente de hecho mi día :)

Answer 1

Probablemente usted está más allá de esta etapa, pero siempre he pensado que bonita intuición vino de Penrose escaleras. Usted puede dibujar, porque la "triple superposición" que falta en el medio de la escalera y una astucia artista puede dibujar escaleras basado en cocycles que no coboundaries, incluso a pesar de una correcta representación en 3D es imposible.

Answer 2

Esto se explica en "los Principios de la Geometría Algebraica," por Griffiths & Harris, p42.

Dado un simplicial de la descomposición de su espacio, asociado a cada vértice v_α con su estrella U_α, donde la estrella significa la unión de los interiores de los simplices que la contienen. Esto da una apertura de la tapa {U_α} donde la intersección de p abra conjuntos es vacío, precisamente, cuando los vértices correspondientes abarcan un p-simplex. Así que un p-cochain mapas (U_α1, ..., U_αp) a un valor distinto de cero sección del coeficiente de gavilla sólo si {v_α1, ..., v_αp} span símplex.

Answer 3

El complejo, que calcula Cech cohomology para cubrir el "mismo" en el que se calcula la cohomology de los nervios de la cubierta. No es difícil ver que la geometría que la realización de este nervio es, en cierto sentido, una aproximación al espacio original. Ya que al parecer encontrar intuitiva que simplicial cohomology detecta la geometría, entonces esto debe convencer de que Cech cohomology también lo hace :P

Answer 4

He aquí una idea; no estoy seguro de si todos los pasos son posibles, pero creo que debería funcionar.

Tomar un simplicial complejo de dimensión $n$ (todos los simplices son de dimensión $\leq$ n). "Espesar" el simplicial complejo de conseguir un nuevo espacio topológico que contiene el original de simplicial complejo como una deformación de retractarse, de tal manera que hay un abrir barrio $U_\sigma$, homeomórficos a un $n$-ball, de cada simplex $\sigma$ que la deformación se retrae para que simplex. Hacer esto de modo que las intersecciones de $U_\sigma \cap U_{\sigma'}$ son iguales a $U_{\sigma \cap \sigma'}$. Ahora tome la tapa abierta $\{ U_{\sigma} \}$; a continuación, la Cech complejo asociado a esta apertura de la tapa debe ser el "mismo" como el complejo que calcula el simplicial (co)homología de la simplicial complejo. "El mismo" aquí probablemente significa "canónicamente homotopy equivalente".

Por ejemplo, si pensamos en un círculo como el simplicial complejo dada por un triángulo con 3 bordes y 3 vértices, luego de esto, en esencia, coincide con su ejemplo (2).

Este es esencialmente el mismo que el de Mariano explicación, pero como que en la inversa de la dirección.

Este tipo de cosas podrían estar incluidos en algunos de los libros antiguos, como Munkres' "los Elementos de la Topología Algebraica" o Spanier "Topología Algebraica". Cech cohomology no parece ser cubierto en la mayoría de los contemporáneos de topología algebraica libros; supongo que simplemente no es muy útil para lo que la gente está interesada en estos días.