Definir la función raíz cuadrada en los números complejos.

Question

Definir una función holomorfa $f\colon\mathbb{C}\setminus[-1,1] \longrightarrow \mathbb{C}$ tal que $\forall z \in \mathbb{C}\setminus[-1,1] \ \left( (f(z))^{2} = z^{2} - 1\right)$ y $f(2)=\sqrt{3}$.

Answer 1

Para cualquier ruta de acceso entre el $2$ $z$ que no cruzan la línea real entre el$+1$$-1$, definir $$ f(z)=\frac{\log(3)}{2}+\int_2^z\frac{\zeta\,\mathrm{d}\zeta}{\zeta^2-1} $$ Desde $f'(z)=\frac{z}{z^2-1}=\frac{1/2}{z-1}+\frac{1/2}{z+1}$, después de calcular la constante de integración en $z=2$, obtenemos que $f(z)=\frac12\log(z^2-1)$ .

Ya que la suma de los residuos de $\frac{\zeta}{\zeta^2-1}=\frac{1/2}{\zeta-1}+\frac{1/2}{\zeta+1}$$\zeta=+1$$\zeta=-1$$1$, la diferencia de la integral entre dos caminos diferentes que no cruzan la línea real entre el $+1$ $-1$ debe ser un múltiplo de $2\pi i$. Por lo tanto, $e^f$ es la misma en ambos caminos.

Por lo tanto, $e^{f(z)}=\sqrt{z^2-1}$ está bien definido independiente de la trayectoria tomada.

Answer 2

Que $\operatorname{Log} z$ denotar el rama principal del logaritmo complejo, es decir, la elección de foliaciones de logaritmo definido en todas partes excepto en el eje real negativo.

Tenga en cuenta que $z^2-1 = z^2(1-\frac{1}{z^2})$ y el segundo factor es negativo verdadero si y sólo si $z \in [-1,1]$. Esta observación indica que debe ser nuestra "raíz cuadrada"

$$g(z) = z\sqrt{1-\frac{1}{z^2}} = z e^{\frac12 \operatorname{Log}(1-\frac{1}{z^2})}.$$

Asegúrese de comprobar los detalles por sí mismo.

Answer 3

Trataré a continuación. Definir:

$$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$$

donde $x,y,u(x,y)$ y $v(x,y)$ son reales. Ahora imponer ecuaciones de Cauchy-Riemman

$$u_{x}(x,y)=v_{y}(x,y)\\ u_{y}(x,y)=-v_{x}(x,y)$$

Ya que existen ecuaciones diferenciales que se puede esperar tener una constante indeterminada. Se fijarán por $f(2)=\sqrt{3}$

Answer 4

Considerar la función raíz cuadrada define en $\mathbb C \setminus \mathbb R_-$ tal que $\sqrt{1}=1$ (por lo que es una extensión de la raíz cuadrada generalmente definida en $\mathbb R_+^*$). Definición de $f_1(z) = \sqrt{z-1} \sqrt{z+1}$ $\mathbb C \setminus (- \infty ; 1]$ y $f_2(z) = f_1(-z)$ $\mathbb C \setminus [- 1 ; \infty)$.

$z \in \mathbb C \setminus \mathbb R$, Tenemos $f_1(z)^2 = z^2-1 = (-z)^2-1 = f_2(z)^2$ así que debemos tener $f_1/f_2 = \pm 1$ en cada medio plano. Desde $f_2(z)/f_1(z) = f_1(-z)/f_2(-z)$, debemos tener ese % es constante en $f_1/f_2$ $\mathbb C \setminus \mathbb R$. Resulta que $f_1 = - f_2$, así que usted puede pegar $f_1$ y $-f_2$ para obtener una función holomorfa $f$ $\mathbb C \setminus [-1 ; 1]$ $f(z)^2 = z^2-1$

Entonces comprobar que $f(2) = f_1(2) = \sqrt 1 \sqrt 3 = \sqrt 3$