Deje $a_1,a_2,a_3,\ldots$ ser una disminución de la secuencia de números positivos. Mostrar que
(a) si $a_1+a_2+\ldots$ converge, a continuación, $\lim_{n\rightarrow\infty} n a_n=0$
(b) $a_1+a_2+\ldots$ converge si y sólo si $a_1+2 a_2+4 a_4 +\ldots $ converge.
(a)
Si $\sum a_i$ converge para cualquier $\epsilon>0$ natural de número de $N_1$ que si $n>N_1$ $$2n \cdot a_{2n} \le\sum_{i=n}^{2n} a_i <\epsilon$$ Nos leva de la misma manera con la extraña términos y para los que recibieron $\epsilon>0$ $N_2$ tal que $$(2n+1) \cdot a_{2n+1} \le\sum_{i=n+1}^{2n+1} a_i <\epsilon$$ Así, por cada $\epsilon>0$ hay $N=\max\{N_1,N_2\}$ de manera tal que siempre que $n>N$$na_n <\epsilon$.
Es esta la forma correcta de la prueba de la fascinante hecho?
(b)
Si el segundo de la serie converge, entonces a partir de la $a_1,a_2,\ldots$ es la disminución de la secuencia de nonegative números, a partir de la prueba de comparación sabemos que el primero de la serie converge.
De lo contrario voy a demostrar que las sumas parciales de la segunda serie son acotados. $$\begin{align*} a_1+\frac12\sum_{i=1}^N2^ia_{2^i}&=a_1+a_2+2a_4+4a_8+\dots+2^{N-1}a_{2^N}\\ &\leq a_1+ a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+\dots+a_{2^{N-1}+1}+\dots+a_{2^N-1}+a_{2^N}\\ &\leq \sum_{i=1}^\infty a_i<\infty \end{align*}$$
