Encontrar la ecuación de un círculo dado dos puntos y el radio

Question

Parece que no puede entender esto - la pregunta es:

Hay exactamente dos círculos de radio $r = \sqrt{5}$ a través de los puntos de $(6,3)$$(7,2)$. Encontrar las ecuaciones de ambos círculos.

Yo estaba pensando que iba a encontrar la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos que me daría un acorde en el círculo. Entonces yo podría encontrar una línea perpendicular a este tomando el negativo recíproco. Esta mediatriz de la cuerda pasa por el centro del círculo (que supongo que tengo que encontrar).

Estoy haciendo esto más complicado de lo que realmente es...? No sé a dónde ir desde aquí

Answer 1

Alternativamente, tenga en cuenta que $(h,k)$ será el centro de un círculo de tal si y sólo si $$(6-h)^2+(3-k)^2=5$$ and $$(7-h)^2+(2-k)^2=5.$$ Solving this system for $h $ and $indicador$ (habrá dos soluciones posibles) te dará los círculos deseados.

Answer 2

El enfoque parece sensato. Una ecuación cuadrática es inevitable, y esta es una buena forma de llegar a ella.

La pendiente de la cuerda es $-1$, por lo que la pendiente de la mediatriz es $1$. Por lo tanto la mediatriz tiene por ecuación de la forma $y=x+b$. Desde el punto medio de la $(13/2,5/2)$ de nuestros dos puntos dados es sobre la mediatriz, tenemos $b=-4$.

Ahora nos encontramos con el centro. Dicen que tiene coordenadas $(x,x-4)$. La distancia a$(6,3)$$\sqrt{5}$. Que da $$(x-6)^2+(x-7)^2=5.$$ Al simplificar, usted encontrará que la cuadrática incluso factores muy bien.

Answer 3

Aquí es principalmente una plaza libre':

Las dos restricciones se $\|x-(6,3)\|^2 = 5$$\|x-(7,2)\|^2 = 5$. La expansión de da $\|x\|^2-2 \langle (6,3), x \rangle +45 = 5$$\|x\|^2-2 \langle (7,2), x \rangle +53 = 5$, restando y la simplificación de los da $\langle (1,-1), x \rangle = 4$. Tenga en cuenta que esta es una línea en $45 °$.

La bisectriz de los dos puntos es $(\frac{13}{2}, \frac{5}{2})$. La distancia entre los dos puntos es $\sqrt{2}$, por lo tanto la distancia de los puntos de la bisectriz es $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Pitágoras da la distancia de la bisectriz del centro de los círculos como $\sqrt{5-\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

Si dibujamos una línea en $45 °$ a través de $(\frac{13}{2}, \frac{5}{2})$, y, a continuación, marque los puntos que se $\frac{3}{\sqrt{2}}$ de distancia a cada lado, vamos a encontrar a los centros. Los correspondientes desplazamientos se $\pm (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$, por lo tanto los centros de $(\frac{13}{2}, \frac{5}{2}) \pm (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$, lo que da a los centros de $(5,1), (8,4)$.

Por tanto, las ecuaciones son $$ (x_1-5)^2+(x_2-1)^2 = 5, \ \ (x_1-8)^2+(x_2-4)^2 = 5$$

Answer 4

Así, la ecuación de un círculo toma la forma:

$$ (x-h) ^ 2 + (y-k) ^ 2 = r ^ 2 $$

donde h, k son las coordenadas del centro del círculo y r es el radio. Enchufar los valores para x e y, tiene las dos ecuaciones:

$$ (6-h) ^ 2 + (3-k) ^ 2 = \sqrt{5}^2 $$

y

$$ (7-h) ^ 2 + (2-k) ^ 2 = \sqrt{5}^2 $$

Las dos soluciones a estas ecuaciones para h, k son los centros de los dos círculos posibles que pasan por los puntos antes mencionados.