Demostración de identidades q-binomiales

Question

Me preguntaba si alguien podría mostrarme cómo demostrar identidades q-binomios. No tengo ni un solo ejemplo en mis apuntes, y no encuentro ninguno en internet.

Por ejemplo: ${a + 1 + b \brack b}_q = \sum\limits_{j=0}^{b} q^{(a+1)(b-j)}{a+j \brack j}_q$

No he avanzado mucho en este, pero aquí hay uno del que he conseguido sacar algo: ${2n \brack n}_q = \sum\limits_{k=0}^{n} q^{k^{2}}{n \brack k}_q$

Usando el teorema q-binomio de mis apuntes, que es el siguiente: $(1+qx)(1+q^{2}x)...(1+q^{n}x) = \sum\limits_{k=0}^{n} q^{k(k+1)/2}{n \brack k}_q x^{k}$ he conseguido demostrar que el coeficiente de $x^{n}$ es igual a: $\sum\limits_{k=0}^{n} q^{(2k^{2} - 2nk + n^{2} + n)/2} {n \brack k}_q {n \brack n-k}_q$ de la identidad. Para llegar aquí, consideré el producto de $(1+qx)...(1+q^{n}x)(1+qx)...(1+q^{n}x)$ y luego intentó obtener el coeficiente de $x^n$ como se haría en la prueba binómica ordinaria. He estado tratando de imitar las pruebas de las contrapartes binomiales regulares de estas identidades, pero sin mucha suerte.

Se agradecería ayuda, ya que pronto tengo un examen parcial. Gracias :)

Answer 1

Puede demostrar

$${a + 1 + b \brack b}_q = \sum\limits_{j=0}^{b} q^{(a+1)(b-j)}{a+j \brack j}_q\tag{1}$$ por inducción en $b$ . Supongamos que $(1)$ . Entonces

$$\begin{align*} \sum\limits_{j=0}^{b+1} q^{(a+1)(b+1-j)}{a+j \brack j}_q&={a+b+1\brack b+1}_q+\sum\limits_{j=0}^{b} q^{(a+1)(b+1-j)}{a+j \brack j}_q\\ &={a+b+1\brack b+1}_q+q^{a+1}\sum_{j=0}^bq^{(a+1)(b-j)}{a+j\brack j}_q\\ &={a + 1 + b \brack b+1}_q+q^{a+1}{a+1+b\brack b}_q\\ &={a+2+b\brack b+1}_q \end{align*}$$

por la recurrencia fundamental $${n+1\brack k}_q={n\brack k}_q+q^{n-k+1}{n\brack k-1}_q\;.$$ Merece la pena mencionar la otra recurrencia fundamental de tipo Pascal: $${n+1\brack k}_q=q^k{n\brack k}_q+{n\brack k-1}_q\;.$$

También encontré estas diapositivas de una charla que creo que te puede resultar muy útil.

Answer 2

$\newcommand\gauss[2]{\genfrac[]0{}{#1}{#2}_q}$ Aquí hay una implementación directa del método que di en una pista. La interpretación combinatoria natural de un coeficiente binomial gaussiano $\gauss {a+b}b$ es que cuenta las trayectorias de la red desde el origen hasta $(a,b)$ (donde cada paso avanza una de las dos coordenadas) con como peso el número de casillas sobre el camino, dentro del rectángulo con el origen y $(a,b)$ como esquinas diagonalmente opuestas. Contar con peso significa sumar sobre el conjunto indicado los monomios $q^k$ donde $k$ es el peso del elemento. (Estoy usando coordenadas cartesianas para saber qué lado está "encima" de la trayectoria).

Ahora $\sum_{j=0}^b\binom{a+j}j$ cuenta las trayectorias desde el origen hasta uno de los puntos $(a,j)$ para $0\leq j\leq b$ mientras que $\binom{a+1+b}b$ cuenta los trayectos desde el origen hasta $(a+1,b)$ . Ahora no es difícil ver por qué $$ \binom{a+1+b}b = \sum_{j=0}^b\binom{a+j}j, $$ como para cada trayectoria desde el origen hasta $(a+1,b)$ existe un único $j$ para el que contiene un paso $(a,j)\to(a+1,j)$ y una vez que $j$ es conocida, la trayectoria está totalmente determinada por el camino que pasa del origen al $(a,j)$ porque después de llegar a $(a+1,j)$ no tiene más remedio que ir hacia arriba.

Ahora el coeficiente binomial gaussiano $\gauss{a+1+b}b$ a la izquierda nos dice que queremos asignar como peso a tales trayectorias el número de casillas por encima de ella, dentro del rectángulo de lados $a+1$ y $b$ . A la derecha, el coeficiente $\gauss{a+j}j$ cuenta las casillas por encima del camino dentro del recatángulo de lados $a$ y $j$ y como el camino hace un paso horizontal $(a,j)\to(a+1,j)$ este número es igual al número de casillas por encima de la trayectoria (ampliada) dentro del rectángulo con laterales $a+1$ y $j$ . Pero luego el camino sube recto por $b-j$ pasos, cada uno de los cuales tiene $a+1$ cuadrados a su izquierda que también están por encima del camino, y dentro del rectángulo de lados $a+1$ y $b$ . Así que debemos multiplicar los términos procedentes de $j$ por $q^{(a+1)(b-j)}$ para tener en cuenta las casillas adicionales contadas a la izquierda, y esto es exactamente lo que su $q$ -dice la fórmula.

Answer 3

Su identidad se deduce de esta versión de la regla de Pascal:

$${n \brack k}_q = {n-1 \brack k}_q + q^{n-k} {n-1 \brack k-1}_q.$$

Ampliar da

\begin{align} {a + b + 1 \brack b}_q &= {a+b \brack b}_q + q^{a+1} {a+b \brack b-1}_q \\ &= {a+b \brack b}_q + q^{a+1} \left( {a+b-1 \brack b-1}_q + q^{a+1} {a+b-1 \brack b-2}_q \right) \\ &= \cdots \\ &= \sum_{j=0}^b q^{(b-j)(a+1)} {a+j \brack j}_q. \end{align}

Por supuesto, puedes convertir esto en una prueba por inducción.

Answer 4

Puede utilizar la función $q$ -Vandermonde identidad para expandir el lado izquierdo de tu ecuación

$$ \binom{m + n}{k}_{\!\!q} = \sum_{j} \binom{m}{k - j}_{\!\!q} \binom{n}{j}_{\!\!q} q^{j(m-k+j)}\,, $$

$$ \max(0, k - m) \le j \le \min(n, k). $$