Yo diría que esta topología viene más de la lógica: como Pece mencionado, corresponde precisamente a la Lawvere–Tierney topología $\lnot \lnot : \Omega \to \Omega$ en la presheaf topos. Sin embargo, el nombre proviene de la topología. Permítanme tratar de explicar la conexión.
Deje $X$ ser un espacio (por que realmente me refiero configuración regional) y deje $\mathcal{O}$ ser la categoría de abrir subespacios. A continuación, $\mathcal{O}$ es una completa álgebra de Heyting; en particular, se tiene una operación $\lnot$ que envía un abrir subespacio $U \subseteq X$ al interior de su complemento, es decir, el mayor subespacio $\lnot U$ tal que $U \cap \lnot U = \emptyset$. Claramente, $\lnot U = \emptyset$ si y sólo si $U$ es un abierto denso en el subespacio $X$; y, más en general, para abrir subespacios $U \subseteq V \subseteq X$, $U$ es denso en $V$ si y sólo si $V \subseteq \lnot \lnot U$, es decir, si y sólo si $V$ está contenida en el interior de la clausura de la $U$.
Ahora, vamos a $\mathcal{O}_{\lnot \lnot}$ a la totalidad de la subcategoría de los $U$ tal que $\lnot \lnot U = U$. (En la topología, estos son los llamados "abierto regular conjuntos".) Resulta que $\mathcal{O}_{\lnot \lnot}$ también es una completa álgebra de Heyting, por lo que es la categoría de abrir los subespacios de un espacio de $X_{\lnot \lnot}$ (que en realidad es sólo una configuración regional en general, es decir, no necesariamente espacial). De hecho, $X_{\lnot \lnot}$ es un subespacio de $X$ (pero no necesariamente abierto), y se puede demostrar que $X_{\lnot \lnot}$ es el menor subespacio denso de $X$ (donde ahora hemos ampliado el significado de la densa como para no-necesariamente-abrir subespacios).
Por lo tanto, debemos pensar en las poleas en $X_{\lnot \lnot}$ como gavillas que se definen "de forma genérica" o "casi todo" en la $X$. Por supuesto, la imagen directa functor nos permite incrustar las poleas en $X_{\lnot \lnot}$ como una subcategoría de poleas en $X$, y estos serán vistos a ser precisamente las poleas que están a la derecha ortogonal a todos los densos abrir inclusiones $U \hookrightarrow V$ (donde $V \subseteq X$), es decir, poleas $F$ $X$ de manera tal que el mapa de restricción $F (V) \to F (U)$ es un bijection siempre $U \subseteq V$ es densa. Por ejemplo, si $X$ es una irreductible sobrio espacio (por ejemplo, el espacio subyacente de un integrante del esquema), entonces las gavillas en $X_{\lnot \lnot}$ puede ser identificado con la constante de poleas en $X$. En particular, $X_{\lnot \lnot}$ es isomorfo a un punto y, de hecho, la inclusión de $X_{\lnot \lnot} \hookrightarrow X$ no es otra que la inclusión de los genéricos punto de $X$.
Tanto para los espacios. Hay varias complicaciones en la generalización de esta idea a los sitios. Primero de todo, la "densa" de la topología como se ha definido es desnudo categorías – por lo que incluso para pre-ordenes que solo tenemos el caso especial donde $X$ es un Alexandrov espacio. La segunda complicación es que no todos los subpresheaf de un representable presheaf es representable (considerando que cada subsheaf de un representable gavilla en un espacio es representable), por lo que realmente necesita para pensar acerca de los tamices (que me identifico con subpresheaves de representable presheaves).
Para empezar, debemos definir $\lnot$ en los tamices. Deje $C$ ser un objeto en $\mathcal{C}$ y deje $\mathfrak{U}$ ser un colador en $C$. A continuación, $\lnot \mathfrak{U}$ se define para ser el más grande de tamiz en $C$ tal que $\mathfrak{U} \cap \lnot \mathfrak{U} = \emptyset$. Explícitamente, $\lnot \mathfrak{U}$ se compone de todos los morfismos $C' \to C$ tal que, para todos los $C'' \to C'$, el compuesto de $C'' \to C' \to C$ es no en $\mathfrak{U}$. Por lo tanto, $\lnot \lnot \mathfrak{U}$ se compone de todos los morfismos $C' \to C$ tal que, para algunos $C'' \to C'$, el compuesto de $C'' \to C' \to C$$\mathfrak{U}$. La cubierta de tamices en $C$ en la "densa" de la topología son, por tanto, los $\mathfrak{U}$ tal que $\lnot \lnot \mathfrak{U} = \mathcal{C}(-, C)$.
Podemos mecánicamente convertir esto en un Grothendieck pretopology por la definición de la cobertura a las familias a ser los que generan una cubierta del tamiz, más explícitamente, $\{ C'_i \to C : i \in I \}$ es una cubierta de la familia de $C$ si, para cualquier $C' \to C$$\mathcal{C}$, para algunas de las $C'_i \to C$, hay un conmutativa de la plaza en $\mathcal{C}$ el siguiente formulario:
$$\begin{array}{ccc}
C'' & \rightarrow & C' \\
\downarrow & & \downarrow \\
C'_i & \rightarrow & C
\end{array}$$
En particular, si $\mathcal{C}$ es una categoría con pullbacks, o incluso sólo uno que satisface el adecuado de Mineral de condición, a continuación, todos los no-vacío familia cubre. Esto también se llama atómica de la topología en $\mathcal{C}$ y tiene algunas aplicaciones, por ejemplo, el topos de $G$-juegos para cualquier grupo topológico $G$ admite que un sitio de este formulario, y en particular, el petit étale topos para un campo admite un sitio de este formulario.
El común de la generalización de las dos ideas es, como he mencionado, el $\lnot \lnot$-topología (primaria) toposes. Deje $\mathcal{E}$ ser un topos y deje $U \rightarrowtail V$ ser un monomorphism en $\mathcal{E}$. A continuación, $\lnot (U \rightarrowtail V)$ se define para ser el más grande de subobjeto de $V$ cuya intersección con $U \rightarrowtail V$ $0 \rightarrowtail V$ donde $0$ es el objeto inicial en $\mathcal{E}$. Este siempre existe en un topos. Un monomorphism $U \rightarrowtail V$ se dice $\lnot \lnot$-denso si $\lnot \lnot (U \rightarrowtail V)$ $V$ sí (como un subobjeto de $V$). Un $\lnot \lnot$-gavilla es un objeto que está a la derecha ortogonal a todos los $\lnot \lnot$-denso monomorphisms, y un teorema de Lawvere y Tierney es que el pleno de la subcategoría de $\lnot \lnot$-poleas es un subtopos $\mathcal{E}_{\lnot \lnot} \subseteq \mathcal{E}$.
En el caso de que $\mathcal{E} = \mathbf{Sh} (\mathcal{C}, J)$ por algún sitio, $\mathcal{E}_{\lnot \lnot}$ puede ser identificado con el topos de poleas para un "grande" de la topología. Y por supuesto, si $\mathcal{E} = \mathbf{Sh} (X)$ espacio $X$, $\mathcal{E}_{\lnot \lnot} \simeq \mathbf{Sh} (X_{\lnot \lnot})$ $X_{\lnot \lnot}$ como se describió anteriormente. En particular, $\mathbf{Sh} (X_{\lnot \lnot})$ puede ser descrito como el topos de poleas en $\mathcal{O}$ para el pretopology de preguntar acerca de en (4).
