Sabemos que $12^2 = 144$ y que $38^2 = 1444$. Hay otros cuadrados perfectos en el formulario de $\frac{13}{9} (10^n - 1) + 1$ (es decir, $1$ seguida de $n$ $4$'s), y ¿cómo podemos demostrarlo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
144...4 es divisible por 4, de ahí se sigue que, 144...4 es un cuadrado perfecto cuando 3611...1 también es un cuadrado perfecto.
36 y 361 son casos especiales, porque los demás puede ser escrito por el siguiente
3611....111 = 4(25$m$ + 2) + 3 si $m$ es $Z$
Considere la posibilidad de la prueba en la siguiente pregunta:
Demostrando que ninguno de estos elementos 11, 111, 1111, 11111...puede ser un cuadrado perfecto
Por lo tanto, 3611...1 no puede ser un cuadrado perfecto.
Reto Meier
Puntos
55904
La fuerza bruta respuesta:
Si $x^2 = 1\cdots4444$ entonces podemos considerar este mod $10000$ para ver que debemos tener $x^2 \equiv 4444 \pmod{10000}$. A ver si $x$ existe, es suficiente para considerar $0 \le x < 10000$. El siguiente programa en C termina sin salida, mostrando que no hay tal $x$ existe.
#include <stdio.h>
int main(void) {
int x;
for (x = 0; x < 10000; x++) {
if ((x * x) % 10000 == 4444) {
printf("%d\n", x);
}
}
return 0;
}
Tenga en cuenta que debe ejecutar esto en un sistema donde int es de al menos 32 bits.
