Dejemos que $(E,d), (E',d')$ sean dos espacios métricos, y $f:E\rightarrow E'$ una función inyectiva tal que la imagen de cualquier conjunto compacto de $E$ es compacto en $E'$ .
¿Cómo puedo demostrar que $f$ es continua?
Gracias.
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Matthew Scouten
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Supongamos que $x_n \to x$ . Dejemos que $y_n = f(x_n), y=f(x)$ . Queremos demostrar que $y_n \to y$ .
Dejemos que $D_n = \{x_n,x_{n+1},...\} \cup \{x\}$ y $R_n = \{y_n,y_{n+1},...\} \cup \{y\}$ . Vemos que ambos conjuntos son compactos. Sea $D = \cap_n D_n$ , $ R = \cap_n R_n$ . Vemos que $D = \{x\}$ .
Tenga en cuenta que como $R_n$ es compacto, contiene todos los puntos de acumulación de la secuencia $y_n$ . Por lo tanto, $R$ contiene todos los puntos de acumulación de la secuencia $y_n$ . También hay que tener en cuenta que cualquier subsecuencia de $y_n$ debe tener un punto de acumulación.
Por lo tanto, para demostrar que $y_n \to y$ basta con demostrar que $R = \{y\}$ .
Supongamos que $z \in R$ pero $z \neq y$ . Entonces $f^{-1}(\{z\}) \cap D_n \neq \emptyset$ para todos $n$ . Sin embargo, como $f$ es inyectiva, vemos que $f^{-1}(\{z\})$ es un un solo punto, por lo que, de hecho, tenemos $f^{-1}(\{z\}) \subset D_n $ para todos $n$ .
Esto implica $\{x\}=f^{-1}(\{z\})$ una contradicción. Por lo tanto, $R = \{y\}$ .
Nota : Para ver la necesidad de la inyectividad en esta prueba, tomemos $f=1_\mathbb{Q}$ entonces cualquier conjunto se convierte en un conjunto compacto, pero $f$ es claramente no es continua.
