He encontrado mediante un experimento numérico que los primeros primos son: $2,5,13,17,29,37,41$ . Pero no puedo elaborar la fórmula general para ello.
Por favor, comparta sus ideas sobre el tema.
Respuestas
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Si sabes un poco de teoría de grupos no es muy difícil. Es válido para $p = 2$ así que asume $p > 2$ . Bajo la multiplicación ${\mathbb Z}_p$ es un grupo cíclico de orden $p - 1$ . Decir que un $x$ en ${\mathbb Z}_p$ satisface $x^2 = -1$ es lo mismo que decir que $x$ es un elemento de orden $4$ en este grupo. Para ver por qué, primero hay que tener en cuenta que claramente tal $x$ es de orden $4$ ; $x \neq 1$ y $x^2 = - 1 \neq 1$ , mientras que $x^4 = 1$ . Por el contrario, si un elemento $y$ es de orden $4$ entonces $y^2$ es de orden $2$ . Así que $y^4 - 1 = (y^2 - 1)(y^2 + 1) = 0$ en ${\mathbb Z}_p$ . Desde $y^2$ no es $1$ tiene que ser $-1$ .
Así que la pregunta es cuándo el grupo cíclico ${\mathbb Z}_p$ tienen un elemento de orden 4. Los órdenes de los elementos de un grupo cíclico son exactamente los divisores del orden. Así que esto ocurre cuando $4$ divide $p - 1$ o, de forma equivalente, cuando $p = 1 \pmod 4$ .
Oli
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89
El siguiente argumento depende de conocer (o demostrar por separado) Teorema de Wilson .
Teorema Dejemos que $p$ sea primo. Entonces $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$ .
Ahora utilizamos el Teorema de Wilson para demostrar el resultado. En aras de la concreción, utilizaré $p=17$ pero la misma idea funciona exactamente para todos los primos congruentes con $1$ modulo $4$ . Todas las congruencias serán módulo $17$ Así que $17$ la mayoría de las veces no se mencionan explícitamente.
Tenga en cuenta que $$16!= (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(16)(15)(14)(13)(12)(11)(10)(9).$$ (Realmente no hizo nada.)
Tenga en cuenta que $16\equiv -1$ , $15\equiv -2$ , $14\equiv -3$ y así sucesivamente hasta $9 \equiv -8$ . De ello se desprende que $$(15)(14)(13)(12)(11)(10)(9)\equiv (-1)(-2)(-3)(-4)(-5)(-6)(-7)(-8).$$ Pero el lado derecho es congruente con $(-1)^8(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)$ , y por supuesto $(-1)^8=1$ .
De ello se desprende que $16! \equiv (8!)^2 \pmod{17}$ . Pero por el Teorema de Wilson, $16!\equiv -1 \pmod{17}$ y por lo tanto $$(8!)^2 \equiv -1 \pmod{17}.$$
Hemos encontrado un expresión explícita para un $x$ tal que $x^2\equiv - \pmod{17}$ .
Si $p \equiv 3 \pmod{4}$ el argumento se rompe, porque terminamos con un Número impar de los signos menos. (De todos modos, el resultado no se mantiene cuando $p\equiv 3\pmod 4$ .)
En general, si $p\equiv 1 \pmod 4$ y $q=(p-1)/2$ entonces $$(q!)^2 \equiv -1 \pmod{p}.$$
Otros primos : Queda por demostrar que la congruencia no es resoluble si $p \equiv 3\pmod{4}$ . Por lo tanto, supongamos que $b^2\equiv -1\pmod{p}$ . Mira los números $b, 2b, 3b, \dots, (p-1)b$ . Es fácil comprobar que son incongruentes entre sí, módulo $p$ por lo que su producto es congruente con $(p-1)!$ modulo $p$ . Así, $$b^{p-1}(p-1)! \equiv (p-1)! \pmod p,$$ dando $b^{p-1}\equiv 1 \pmod p$ . Sea $q=(p-1)/2$ . Entonces $b^{p-1} \equiv (-1)^q \pmod p$ . Pero si $p \equiv 3 \pmod 4$ entonces $q$ es impar, y obtenemos el absurdo $-1 \equiv 1 \pmod{p}$ .
Jim DeLaHunt
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175
Como el ideal $(p)$ es máxima en $\mathbb{Z}.$ El anillo $\mathbb{Z}/pZ$ es un campo. Se deduce que los elementos no nulos forman un grupo (el grupo de unidades $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times})$ y este grupo es cíclico. Nota: $-1\in(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ y para $p>2$ el orden de $-1$ en este grupo es 2. Como los grupos cíclicos tienen uno y sólo un subgrupo de orden $n$ para cada número entero positivo $n$ dividiendo el orden del grupo, observamos para $p>2,$ el elemento $-1$ tiene una raíz cuadrada si y sólo si $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ contiene un subgrupo de orden $4$ que se produce si y sólo si $4$ divide $|(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}| = p-1,$ es decir, si y sólo si $p\equiv 1\mod 4.$
Examen del caso en el que $p =2,$ revela trivialmente que $-1$ tiene raíz cuadrada.
Anthony Cramp
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126
En un curso de teoría de números, probablemente llegarías a la Símbolo de Legendre después de un tiempo... http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol
