Término de recurrencia del paseo aleatorio y la autoenergía

Question

Considere el "problema del primer pasaje"

Un paseo aleatorio se desarrolla en un gráfico de puntos conectados. En este gráfico, hay un punto "final" $j$ lo que significa que si el caminante aleatorio cae en este punto el proceso termina. Supongamos que deseamos conocer el número medio de pasos que da el caminante antes de terminar, dado que comenzó en el punto $i$ .

Denotemos la probabilidad de que el paseo aleatorio aterrice en el punto $j$ por primera vez después de $n$ pasos, dado que comenzó en el punto $i$ por el símbolo $f_{ji}(n)$ . En otras palabras, $f_{ji}(n)$ es la probabilidad de que el paseo termine después de $n$ pasos. La solución a la pregunta viene dada entonces por $\sum_{n=1}^\infty n f_{ji}(n)$ . Sin embargo, esto no suele ser fácil de calcular porque $f_{ji}(n)$ son difíciles de calcular.

Sorprendentemente, podemos relacionar la $f_{ji}$ a la sin restricciones probabilidades de paseo aleatorio Definir la probabilidad de que, en ausencia de cualquier terminación, el paseo aleatorio aterrice en el punto $j$ después de $n$ pasos, habiendo comenzado en $i$ por el símbolo $p_{ji}(n)$ . En otras palabras, $p_{ji}(n)$ da las probabilidades en el caso de que hayamos eliminado el hecho de que el punto $j$ termina el paseo. Ahora definimos dos transformaciones $$ F_{ji}(z) \equiv \sum_{n=0}^\infty f_{ji}(n) z^n \qquad P_{ji}(z) \equiv \sum_{n=0}^\infty p_{ji}(n) z^n \, . $$ Resulta que $$ F_{ji}(z) = P_{ji}(z) / P_{jj}(z) \, .$$ Esto se parece sospechosamente a algo que tiene que ver con la autoenergía en la QFT. ¿Existe una conexión matemática, o mejor aún, física, entre la autoenergía y el término de "recurrencia"? $P_{jj}(z)$ ? Por decirlo de otro modo, ¿hay alguna forma de pensar en la autoenergía como la transformación de una probabilidad de recurrencia (amplitud)?

Answer 1

Existe una conexión entre la QFT y los paseos aleatorios. Resulta que la función generadora $P_{ji}(z)$ es equivalente a la función de correlación para el campo escalar libre en una red euclidiana. El parámetro $z$ en la función generadora acaba relacionándose efectivamente con la masa del campo escalar (en realidad con una combinación de masa y temperatura).

Los detalles se encuentran en la mayoría de los libros sobre teoría estadística de campos (por ejemplo, el libro de Giorgio Parisi) cuando se habla del modelo gaussiano, que es esencialmente el campo escalar libre con una interpretación diferente de los parámetros.

Voy a dar un breve argumento....

Consideremos la función de partición para un campo escalar libre $$Z = \int D\phi \exp\left[-\beta\int (\partial \phi)^2+m^2\phi^2\right],$$ y discretizarlo en un entramado con espacio $a$ (Haré un entramado 1d para simplificar) $$Z = \int \prod_i d\phi_i \exp\left[-\beta\sum_i a \left(\frac{(\phi_{i+1}-\phi_i)^2}{a^2}+m^2\phi_i^2\right)\right],$$ $$= \int \prod_i d\phi_i \exp\left[\sum_{i,j}-A\delta_{ij}\phi_i\phi_j + B J_{ij}\phi_i\phi_j\right]$$

Los coeficientes $A$ y $B$ dependen de $m,a,\beta$ . Y $J$ es una matriz que es distinta de cero sólo para los vecinos más cercanos. Normalmente el campo se renormaliza de forma que $A=1$ (así $B$ también recoge la dependencia de $m$ ).

Ahora bien, si conoces las integrales gaussianas, la función de correlación o propagador $G_{ij}=\langle \phi_i \phi_j\rangle$ es la inversa de la matriz en el exponente (he puesto $A=1$ ).

$$\sum_k(\delta_{i k}-B J_{ik})G_{kj} = \delta_{ij}.$$

Ahora pasemos a los paseos aleatorios. Existe una relación de recursión para la probabilidad $p_{ji}(n)$ para ir a $j$ de $i$ en n pasos, $$p_{ji}(n+1) = \sum_k J_{jk} p_{ki}(n)$$ donde $J$ es ahora una matriz que da la probabilidad de pasar de $k$ a $j$ en un solo paso.

Consideremos ahora la expresión $\sum_k J_{jk} P_{ki}(z)$ , \begin {align} \sum_k J_{jk} P_{ki}(z) &= \sum_k \sum_ {n=0}J_{jk} z^n p_{ki}(n) \\ &= \sum_ {n=0} z^n p_{ji}(n+1) \\ &= z^{-1} \sum_ {n=0} z^{n+1} p_{ji}(n+1) \\ &= z^{-1}(P_{ji}(z) - p_{ji}(0)) \end {align} Reordenando... $$\sum_k(\delta_{k j} - z J_{j k}) P_{ki}(z) = \delta_{ij},$$ que es la misma ecuación que para el propagador, con $z$ asumiendo el papel de $B$ que depende de los demás parámetros.

Dada esta interpretación, $P_{jj}(z)$ es esencialmente darle la varianza del campo, y así $F_{ji}$ se parece un poco a una función de correlación normalizada.

Pero debo señalar (no lo hice en la primera edición) que la función de partición $Z$ para una teoría de campo estadística en $d$ Las dimensiones euclidianas están relacionadas con la integral de trayectoria para una QFT en $d-1$ dimensiones espaciales. Así que $P_{jj}(z)$ está relacionada con las fluctuaciones del vacío en el punto $j$ , $\langle 0|\hat{\phi}(j)\hat{\phi}(j) |0\rangle$ . Así que si esto es lo que estás pensando como energía propia, eso es válido creo.