Raíz cuadrada de una matriz 3x3 específica

Question

De un problema en el que estoy trabajando: (Editar 04/11 - Me equivoqué en un signo en mi matriz...)

Sea $A(t) \in M_3(\mathbb{R})$ definida como: $$ A(t) = \left( \begin{array}{crc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ t-1 & -2 & t \end{array} \right).$$

¿Para qué valores de $t$ existe un $B \in M_3(\mathbb{R})$ tal que $B^2 = A$?

En una parte anterior del problema, mostré que $A(t)$ puede ser diagonalizable en una matriz diagonal real para todo $t \in \mathbb{R}$, con autovalores $1,-1,t$.

Algunas cosas en las que he pensado:

• La matriz no es semidefinida positiva, por lo que la forma general de la raíz cuadrada no funciona. (¿Es la semidefinición positiva una condición necesaria para la existencia de una raíz cuadrada?)
• Dado que $A = B^2$, entonces $\det(B^2) = (\det B)^2 = \det A$. Entonces $\det A \geq 0$ para que haya una raíz cuadrada con valores reales, lo que obliga a que $t \leq 0$ sea necesario.
• Mi profesor sugirió que, dado que $B^2$ encaja en el polinomio característico de $A$, $\mu_A(x) = (x-1)(x+1)(x-a)$, entonces el polinomio minimal de $B$ debe dividir a $\mu_A(x^2) = (x^2-1)(x^2+1)(x^2-a) = (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^2-a)$. Examinando los posibles polinomios mínimos, se puede encontrar la forma canónica racional, elevarla al cuadrado y verificar si los autovalores coinciden. Esto probablemente me podría dar la respuesta correcta, pero estoy bastante seguro de que hay una alternativa a una "prueba por agotamiento".

Answer 1

Se asume que existe un número real $t$ y una matriz real $B$ tal que $A(t)=B^2$.

Se observa que $-1$ es un valor propio de $A(t)$, por lo tanto $A(t)+I=(B-\mathrm{i}I)(B+\mathrm{i}I)$ es singular. Esto implica que $B-\mathrm{i}I$ o $B+\mathrm{i}I$ es singular. Dado que $B$ es de valores reales, esto significa que tanto $B-\mathrm{i}I$ como $B+\mathrm{i}I$ son singulares. Del mismo modo, $1$ es un valor propio de $A(t)$, por lo tanto $A(t)-I=(B-I)(B+I)$ es singular. Esto implica que $B-I$ o $B+I$ es singular. Por lo tanto, los valores propios de $B$ son $\{\mathrm{i},-\mathrm{i},1\}$ o $\{\mathrm{i},-\mathrm{i},-1\}$.

En ambos casos, $B$ tiene tres valores propios distintos, por lo que $B$ es diagonalizable en $\mathbb{C}$. Esto implica que los valores propios de $A(t)$ son $-1$ (dos veces) y $1$ (una vez) y que $A(t)$ también es diagonalizable. Por lo tanto, $t=-1$. Ahora observamos la matriz $A(-1)$.

Se puede comprobar que $A(-1)$ es diagonalizable, por lo tanto $A(-1)$ es similar a una matriz diagonal con diagonal $(1,-1,-1)$. Tanto $I_1$ (la matriz $1\times1$ con coeficiente $1$) como $-I_2$ (la matriz diagonal $2\times2$ con coeficientes diagonales $-1$) tienen raíces cuadradas: tomar $I_1$ para $I_1$ y la matriz de rotación $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$ para $-I_2$. Por lo tanto, $A(-1)$ es un cuadrado.

Finalmente, $A(t)$ es un cuadrado si y solo si $t=-1.

Answer 2

Un ejercicio común es primero diagonalizar una matriz con eigenvalores positivos, y luego encontrar una "raíz cuadrada" para la matriz como se te ha pedido que hagas. Esto es trivial ya que si $A=PDP^{-1}$ y $B=P\sqrt{D}P^{-1}$ entonces $A=B^2$ donde $\sqrt{D}$, por supuesto, denota la matriz diagonal D después de tomar la raíz cuadrada de sus entradas (por lo que necesitamos eigenvalores positivos si estás trabajando con matrices reales). Por lo tanto, tu pregunta resulta de lo que ya has determinado sobre la diagonalización de la matriz.

Un resultado no tan trivial es probar que una matriz con eigenvalores positivos tiene una raíz cuadrada independientemente de si se puede diagonalizar o no.