Relación entre funciones diferenciables, continuas e integrables.

Question

He estado haciendo mucho cálculo estos días y quiero confirmar con vosotros mi comprensión de un concepto importante del cálculo.

Básicamente, en la fase inicial, los estudiantes asumen que la integración y la diferenciación están siempre asociadas entre sí, es decir, que una función que es integrable es también diferenciable al mismo tiempo. Pero después de haber explorado más, descubrí que no es cierto en absoluto y que no se mantiene siempre. Muchas veces (o debería decir infinitas veces) una función puede ser integrable en un intervalo mientras no es diferenciable en ese mismo intervalo (y viceversa).

Lo que quiero preguntar es lo siguiente: hace poco leí una conclusión sobre el concepto mencionado que es :

{Funciones diferenciables} $\subset$ {Funciones continuas} $\subset$ {Funciones integrables}

es decir, cada uno es un subconjunto propio del siguiente. Ahora bien, el "conjunto de funciones diferenciables" es un subconjunto propio del "conjunto de funciones continuas"... eso se entiende muy bien sin duda ya que toda función continua puede ser o no diferenciable. Tengo un problema con la siguiente relación que es :

$\\\\$

"Conjunto de funciones continuas" es un subconjunto propio de "Conjunto de funciones integrables"... ¿Por qué es así?

$\\\\$

No soy capaz de visualizar esto. Sé que una función continua acotada en un intervalo cerrado es integrable, bien, pero también hay funciones continuas no acotadas con dominio R , que no podemos decir que sean integrables o no.

Así que mi pregunta es sencilla. ¿Por qué hay más elementos en el "conjunto de funciones integrables" que en el "conjunto de funciones continuas" (aquí por elementos me refiero a funciones integrables y continuas por supuesto)? Así que, esto es todo... ¿Puede alguien ayudarme a entender esto con palabras tan simples como sea posible? Sé que necesito algún tipo de visualización que supongo que es fácil, pero no pude hacerlo por mi cuenta, así que me dirigí a ustedes.

Answer 1

Dejemos que $g(0)=1$ y $g(x)=0$ para todos $x\ne 0$ . A partir de la definición de la integral de Riemann es sencillo demostrar que $g$ es integrable en cualquier intervalo, sin embargo, $g$ no es claramente continua.

Las condiciones de continuidad e integrabilidad tienen un sabor muy diferente. La continuidad es algo extremadamente sensible a los cambios locales y pequeños. Basta con cambiar el valor de una función continua en un solo punto para que deje de ser continua. La integrabilidad, en cambio, es una propiedad muy robusta. Si realizas un número finito de cambios en una función que era integrable, la nueva función sigue siendo integrable y tiene la misma integral. Por eso es muy fácil construir funciones integrables que no son continuas.

Answer 2

Probablemente el ejemplo más sencillo de una función integrable que no es continua es algo como $$f(x)=\left\{\begin{array}{rl}3 & 0\leq x<1\\ 5 & 1\leq x\leq 2.\end{array}\right.$$

Este $f$ no es claramente continua en 1, pero es integrable de Riemann en $[0,2]$ con $\int_0^2 f(x)\ dx = 8$ .

Answer 3

Para que alguna función f(x) para ser continua en x = c entonces las dos condiciones siguientes deben ser verdaderas: f(c) se define y el límite de f(x) como x se acerca a c es igual a f(c) . Recordemos que el límite de un polinomio p(x) como x se acerca a c es p(c) por lo que los polinomios son siempre continuos.

Para que alguna función f(x) sea diferenciable en x = c entonces debe ser continua en x = c y no debe ser un punto de esquina (es decir, sus derivadas del lado derecho y del lado izquierdo deben ser iguales).

La continuidad implica la integrabilidad si alguna función f(x) es continua en algún intervalo [a,b] entonces la integral definida de a a b existe. Mientras que todas las funciones continuas son integrables, no todas las funciones integrables son continuas. Esto se debe a que el límite L de alguna función f(x) como x se acerca a c puede existir a pesar de la discontinuidad en x = c Siempre y cuando f(x) se acerca a L de ambos lados de x . Recordemos que la definición de la integral definida se basa en una suma de Riemann como n tiende a infinito (o dx tiende a cero, si se prefiere) utilizando el proceso de límite. Por lo tanto, cualquier comportamiento de la función que haga que el límite no exista, también haría que la función no fuera integrable. Recordemos que hay tres situaciones que comúnmente causan que un límite no exista: límites diferentes del lado derecho y del lado izquierdo, oscilación y asíntotas o curvas no limitadas/infinitas.

Answer 4

$[x]$ (la parte entera de $x$ ) es integrable sobre $[0, 3]$ pero no es continua en $1$ y $2$ por lo que no es continua en $[0,3]$ .