Contraejemplos? Intuitivamente, ¿por qué?
Gracias por la respuestas.
Como una nota del lado, en lo que a la clase de matemáticas se gradiente, la divergencia y la curvatura enseñó normalmente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La pregunta a hacer es:
Si no es un buen campo de vectores $\mathbf{v}$ tal que $$\nabla \times \mathbf{v} = 0 \quad \text{ in } \Omega,$$ hay una función suave $\phi$ tal que $$\mathbf{v} = \nabla\phi?$$
Si el dominio es simplemente conectado (por ejemplo, una esfera, un cuadro, pero no de la copa con un mango), este campo debe ser un conservador de campo, es decir, $\mathbf{v} = \nabla \phi$.
En general, podemos tener no conservadora de campo nulo curl. Vamos $$Z = \mathrm{ker}(\nabla\times) := \{\mathbf{w} \text{ is smooth}: \nabla \times \mathbf{w} = 0\},$$ que es el espacio de los campos con el cero curl y $$B = \mathrm{im}(\nabla) = \{\nabla \psi: \psi \text{ is smooth}\},$$ cual es el rango de la gradiente de operador (es decir, todos gradiente de campos). Entonces $$ \mathrm{dim}\big(Z/B\big) = \beta_1\etiqueta{1} $$ donde $\beta_1$ es el primer número de Betti del dominio de interés,$\Omega$, y $$\beta_1 = (\# \text{ of holes in the domain})$$ a grandes rasgos. (1) significa básicamente: $$ \text{Field cuya curvatura es cero} = \text{Conservador campo vectorial } + \text{"Algo"}. \etiqueta{2} $$ Este "algo" aquí es una $\beta_1$espacio tridimensional.
(1) es por la coincidencia de la dimensión de de Rham cohomology grupo y la homología de grupo. Simplemente conecta el dominio $\beta_1 =0$. Si el dominio ha $k$ agujeros, la diferencia es $k$espacio tridimensional.
Intuición: Para ser honesto, no sé la intuición, ya sea aquí, si alguien sabe por favor me ilumine así.
¿Cómo encontrar ese "algo": Vamos a usar el ejemplo en la wiki de la entrada de los conservadores campos AWertheim mencionado en el primer comentario, pero lo modifique un poco. Para un cilindro infinito $C_{x=y=0,z\in (-\infty,\infty)}(1)$ con radio 1 en $\mathbb{R}^3$ que contiene el origen, vamos a cavar un agujero de radio $\epsilon$ a lo largo de $z$-eje: $$\Omega = C_{x=y=0,z\in (-\infty,\infty)}(1)\backslash C_{x=y=0,z\in (-\infty,\infty)}(\epsilon)$$ Luego, por encima, ese "algo" es una dimensión de 1 espacio. Deje $\mathbf{A}$ ser miembro de este algo, nos puede suponer un problema de valor de frontera que es la técnica utilizada en Helmholtz descomposición de campos vectoriales: $$\left\{ \begin{aligned} \nabla \times \mathbf{A} &= 0\quad \text{ in }\Omega \\ \nabla \cdot \mathbf{A} &= 0 \quad \text{ in }\Omega \\ \frac{1}{2\pi}\oint_{\gamma_C} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{s} &= 1 \\ \mathbf{A} \cdot \mathbf{n} &= 0 \quad \text{ on }\Gamma, \end{aligned} \right.$$ donde $\gamma_C $ es una curva cerrada hacia la izquierda vivió en el interior del cilindro de la superficie de la liquidación número 1, y $\Gamma$ es el límite de la parte exterior del cilindro. Podemos encontrar que esta $\mathbf{A}$ es lo que la entrada de wikipedia: $$ \mathbf{A} = \left( \frac {y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}, 0 \right). $$ Ese "algo" en (2) es un múltiplo de a $\mathbf{A}$. Y ahora podemos decir que si $\nabla \times \mathbf{v} = 0$ $\Omega$ arriba, a continuación, $$ \mathbf{v} = \nabla \phi + c\mathbf{A}, $$ donde $c$ es una constante.
Pregunta pertinente: ¿Cuál es la solución de Nash del problema que se presentó en "Una Mente maravillosa"?
Su última pregunta: Usted puede aprender div, curl, y de posgrado en el Cálculo III creo. Como el teorema de Green, teorema de la Divergencia y teorema de Stokes.
