Es $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} = 0$?

Question

Cuando yo estaba tratando de resolver un problema para encontrar el radio de convergencia de la alimentación de la serie

$$\sum \frac{2^nz^n}{n!}$$

Estoy totalmente de entender que la relación de la prueba de que funciona bien en este y el radio de convergencia es $\infty$.

Sin embargo, sabiendo que la raíz de la prueba da un mejor tiempo de la prueba de razón y es necesario probarlo, yo quería ser capaz de encontrar el radio de convergencia mediante la prueba de razón.

Por lo tanto la obtención de los siguientes

$$\begin{align} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2^nz^n}{n!}} & = |2z|\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} \\ \\ & = 0\\ \\ & \lt 1 \\ \\ & \Rightarrow R = \infty \end{align}$$

debe de ser verdad.

Así que, yo estaba pensando en que $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}}$ debe ser igual a 0.

Hay una prueba directa de esto ?

Sólo quiero ser un poco más algebraicamente inteligente.

Answer 1

$$n! >n(n-1)..(n-\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor)> (\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}$$

Así

$$\sqrt[n]{\frac{1}{n!}}< \frac{\sqrt2}{\sqrt{n}}$$

Answer 2

Usted puede utilizar Stirling aproximación: $\displaystyle n!\approx\sqrt{2\pi n}\bigg(\frac{n}{e}\bigg)^n$$\displaystyle n\to\infty$, por lo que el$\displaystyle\bigg(\frac{1}{n!}\bigg)^{\frac{1}{n}}\approx \bigg(\frac{1}{\sqrt{2\pi n}\big(\frac{n}{e}\big)^n}\bigg)^{\frac{1}{n}}=\bigg(\frac{1}{(2\pi n)^{\frac{1}{2n}}\big(\frac{n}{e}\big)}\bigg)$, lo que claramente va a cero, como se $n\to\infty$.

Answer 3

Es usted consciente de la desigualdad:

$$\liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \le \liminf_{n \to \infty} a_n^{\frac{1}{n}} \le \limsup_{n \to \infty} a_n^{\frac{1}{n}} \le \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

Ahora acaba de darse cuenta de que si $a_n = \frac{1}{n!}$, $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}$$

Answer 4

Usted puede utilizar el hecho de que $n! \geq e(n/e)^{n},\,n \geq 1$.

Answer 5

Podemos aplicar la siguiente proposición a $u_{n}=\dfrac{1}{n!}$, una prueba de que se puede encontrar en este post de la mina en portugués. Traduzco a continuación.

La proposición. Suponga que para todo $n$, $u_{n}>0$ y $\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=b$. Then $$\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{u_{n}}=b.$$

Prueba. $\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=b$ implies that there exists a natural number $N$ such that for $n\ge$ N tenemos $$ \begin{equation*} b-\delta <\frac{u_{N+k+1}}{u_{N+k}}<b+\delta ,\qquad 0\leq k\leq n-N-1. \end{ecuación*} $$

La multiplicación de estos $n-N$ desigualdades, obtenemos $$ \begin{eqnarray*} \left( b-\delta \right) ^{n-N} &=&\prod_{k=0}^{n-N-1}\left( b-\delta \right) <\prod_{k=0}^{n-N-1}\frac{u_{N+k+1}}{u_{N+k}}<\prod_{k=0}^{n-N-1}\left( b+\delta \right) =\left( b+\delta \right) ^{n-N}\end{eqnarray*} $$

Desde que el producto se $\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\dfrac{u_{N+k+1}}{u_{N+k}}=\dfrac{u_{n}}{u_{N}}$, por lo tanto tenemos

$$ \begin{eqnarray*} \left( b-\delta \right) ^{n-N} &<&\frac{u_{n}}{u_{N}}<\left( b+\delta \right) ^{n-N}\end{eqnarray*} $$

Multiplicando por $u_N$, obtenemos

$$ \begin{eqnarray*} \left( b-\delta \right) ^{n-N}u_{N} &<&u_{n}<\left( b+\delta \right) ^{n-N}u_{N}. \end{eqnarray*} $$

Por lo tanto $$ \begin{equation*} \left( b-\delta \right) \sqrt[n]{\left( b-\delta \right) ^{-N}u_{N}}<\sqrt[n]{u_{n}}<\left( b+\delta \right) \sqrt[n]{\left( b+\delta \right) ^{-N}u_{N}}. \end{ecuación*} $$

Desde $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\left( b+\delta \right) ^{-N}u_{N}}=1$, existe un número natural $N^{\prime }$ tal que para $n\geq N^{\prime }$, $$1-\delta<\sqrt[n]{\left( b-\delta \right) ^{-N}u_{N}}<1+\delta$$

lo que significa que

$$ \begin{equation*} b-\delta -b\delta +\delta ^{2}=(1-\delta )\left( b-\delta \right) <\sqrt[n]{u_{n}}<\left( b+\delta \right) (1+\delta )=b+b\delta +\delta +\delta ^{2}. \end{ecuación*} $$

Para $\varepsilon =\delta +b\delta +\delta ^{2}$ e $n\geq \max \{N,N^{\prime }\}$ $$ \begin{equation*} b-\varepsilon <\sqrt[n]{u_{n}}<b+\varepsilon , \end{ecuación*} $$ lo que demuestra la proposición. $\qquad\square$

Para $u_{n}=\dfrac{1}{n!}$, tenemos $$ \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1/(n+1)!}{1/n!}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n+1}=0. \end{ecuación*} $$

En consecuencia, $$ \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{u_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{1/n!}=0. \end{ecuación*} $$