Es muy parecido a lo que ocurre con las transformaciones lineales: conjugar una matriz equivale a un "cambio de base", una traslación de una base a otra, pero las matrices similares siguen representando la misma transformación lineal.
Conjugar mediante una permutación equivale a "traducir" en nuevas etiquetas los elementos que se permutan, por lo que las "permutaciones similares" (permutaciones conjugadas) deben representar el mismo "barajado" subyacente de los elementos del conjunto, sólo que con nombres posiblemente diferentes.
Formalmente: Supongamos que $\sigma$ y $\tau$ son permutaciones.
Reclamación. Dejemos que $\rho = \tau\sigma\tau^{-1}$ (multiplicación correspondiente a la composición de funciones). Si $\sigma(i)=j$ entonces $\rho(\tau(i)) = \tau(j)$ . En particular, la estructura del ciclo de $\rho$ es la misma que la estructura del ciclo de $\sigma$ sustituyendo cada entrada $a$ con $\tau(a)$ .
Prueba. $\rho(\tau(i)) = \tau\sigma\tau^{-1}\tau(i) = \tau\sigma(i) = \tau(j)$ . QED.
A la inversa, supongamos que $\sigma$ y $\rho$ tienen la misma estructura de ciclo. Enumera los ciclos de $\sigma$ por encima de los ciclos de $\rho$ Alineando los ciclos de la misma longitud entre sí. Ahora interpretamos esto como la presentación de dos líneas de una permutación, y la llamamos $\tau$ Entonces $\tau\sigma\tau^{-1}=\rho$ por la reclamación.
Por ejemplo, si $\sigma=(1,3,2,4)(5,6)$ y $\rho=(5,2,3,1)(6,4)$ , a continuación, escriba $$\begin{array}{cccccc} 1&3&2&4&5&6\\ 5&2&3&1&6&4 \end{array}$$ Entonces dejamos que $\tau$ sea la permutación $1\mapsto 5$ , $3\mapsto 2$ , $2\mapsto 3$ , $4\mapsto 1$ , $5\mapsto 6$ y $6\mapsto 4$ . Entonces por la afirmación anterior, $\tau\sigma\tau^{-1}=\rho$ . ( Nota. Como señala Gerry Myerson, si no estamos trabajando en todo $S_n$ , es posible que no tengamos $\tau$ en cualquier subgrupo en el que estemos trabajando; así que hay una suposición implícita para la parte "si" que estamos trabajando en $S_n$ ).
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¿Ha leído una prueba de este hecho y le ha parecido poco intuitiva?
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No lo son: $(1 2) (1) = (1) (1 2) \implies (1 2)$ es conjugado con $(1)$ aunque tengan una estructura de ciclo diferente.
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@Zaz No es así como se definen los conjugados. Si $a b = b c \implies b^{-1} a b = c \text{ for } a,b,c \in G$ entonces $a$ y $c$ se dice que son conjugados. Tu ejemplo sólo muestra que $(12)$ y $(12)$ son conjugados, es decir, se encuentran en la misma clase de conjugación, que es trivial. En $(12)$ para ser conjugado con $(1)$ hay que demostrar la existencia de algún $g \in G$ tal que $g^{-1} (12) g = (1)$ y no hay tal $g$ existe, por lo tanto $(12)$ y $(1)$ no son conjugados.